Определения из теории вероятностей
Материал из eSyr's wiki.
Содержание |
σ-алгебра
Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:
- , то
- если , то
Случайный эксперимент
Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
Случайная величина
Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = ω1,...,ωn.
Определение
Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримаяотносительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
Вероятность
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):
- Р(Ω)=1
- Р(А)>=0 для любого
- обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
Вероятностное пространство
Определение
Вероятностное пространство — это тройка , где
- — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Замечания
- Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
Распределение вероятностей
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
Определение
Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру на следующим образом:
Мера называется распределением случайной величины X.
Случайная выборка
Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1,X2,...,Xn, каждая из которых имеет распределение F(x)