Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 11:41, 23 мая 2009; Tehhi (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Случайный эксперимент
2 Случайная величина
- 2.1 Определение
3 Вероятность
4 Вероятностное пространство
- 4.1 Определение
  - 4.1.1 Замечания
5 Распределение вероятностей
6 Источники

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

Случайная величина

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Функция $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ , измеримаяотносительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$ , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): 1. Р(Ω)=1:

2. Р(А)>=0 для любого А€X;

3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

Вероятностное пространство

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , где

$\Omega \$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
$\mathcal{F}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega \$ , называемых (случайными) событиями;
$\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

Замечания

Элементарные события (элементы $\Omega \$ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент $\mathcal{F}$ ) — это подмножество $\Omega \$ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subset \Omega$ , если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$ .
Требование, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega \$ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.