Философия математики, 11 лекция (от 28 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

• Зачёт у 4-го курса — 12 мая, после лекции
• Зачёт у всех остальных — 19 мая, после лекции

Итак, мы поговорили о философии математики Канта, следующий смысловой блок посвящён ситуации в 19-м веке, и здесь лектор не будет останавливаться на отдельных персонажах, лектор будет рассказывать об общей ситуации в плане осмысления математики. Главный спор — спор между двумя противоположными позициями — априоризмом и эмпиризмом. Что касается априоризма, то априорность здесь чаще всего понимается не как у Канта, а скорее, здесь стирается грань между априорным и врожденным, и здесь скорее представление о том, что математика врождена человеку. Что же касается эмпиризма, то он делает основной акцент не на разуме, а на опыте, и эмпирическая традиция пытается показать, что всё содержание нашего познания происходит из опыта. Правда, надо сказать, что хотя эта позиция предстает в Европе достаточно отчётливо, начиная с Бэкона, Локка, Гоббса, через Юма к философам 19-го в. Причём все эти философы — островные, основная эмпирическая традиция была именно там, с начала 19-го века также эмпирическая традиция была представлена и во Франции, но в основном это Англия. Лектору трудно про эмпиризм рассказывать, поскольку там много всякой путанницы. Если мы приглядимся к аргументам эмпиризма, то они предполагают некие источники помимо собственного опыта, но они на них акценты не ставят, они о самом собой разумеещеемся, или расширяется понятие опыта. Либо делают исключение для математики.

Тем не менее, лектор остановится на самом ярком представителе эмпиризма в позиции математики, речь идёт о Джоне Стюарте Милле. Это 19-й в., это один из самых влиятельных философов. Чем он любопытен? В первую очередь тем, что попытался максимально последовательно провести эмпирическую традицию в область математики, но здесь же сразу видны и какие-то слабости. Где это можно прочесть? Во-первых есть том Милля. В этой своей системе логики Милль пытается обосновать следующую позицию: мы привыкли считать, что у математики есть особый статус. Есть эмпирические науки, а есть математика. Эмпирические науки не имеют точных знаний, поскольку получают утвеждения на основании индуктивных обобщений. Положения математики, они другие, они этим статусом обладают. ... Главный же козырь — мы в принципе не можем себе представить, что может быть по-другому, не можем представить опыт, который опровергает положения математики, на это Милль заявляет, мало ли что можем мы себе представить. По Миллю, то, что можем себе представить, есть следствия наших ассоциаций. Если А и Б появляются связанно, то если появится Б, то начинаешь ожидать появления А. И Милль говорит следующим образом: предположим, что какие-то ассоциации настолько пронизывают нашу жизнь, их настолько много, мы настолько с ними свыклись, что не можем представить, что не может быть по-другому. Ну и что? Есть другой опыт или смена ситуации. Не так давно, самые образованные люди Европы, не могли представить, что существуют антиподы. ... Аналогично в других ситуация. Возникает ситуация, когда отклонения от шарообразной формы становятся существенными, можно выбрать другую форму, можно получить другое приближение, но не особо точное.

Казалось бы, многие математические утверждения не имеют подтверждений в опыте. Например "две прямые не могут замыкать пространство". ... "Мы же легко можем представить некую последовательность всё менее кривых линий. Мы замечаем что если они пересеклись один раз, то всё меньше шансов им второй раз пересечся".

Такова позиция Милля.

Итак, что касается 19-го в., то здесь колеблятся между двумя этими позициями, пытаются их сочетать. С одной стороны, пытаются выяснить, какие ... . Либо пытаются отстаивать какую-то форму врожденных. ...

Что же интересного и нового появляется в 19-м в.? Ничего особенно характерного нет, он оперирует теми же примерами из арифметики и геометрии. На самом деле, многое меняется, математика меняется. Во-первых, математика институциализируется. Ведь до конца 18-го в. математики — одиночки, просто хобби у них такое. Да, они могут общаться (в основном это переписка), да, начинают появляться журналы, но всё это чуть-чуть, это отдельные люди, их можно пересчитать по пальцам. В 19-м в. становится понятно, что математика связана с военным делом, и если раньше математики другие, математики существовали либо за счёт состояний, либо за счёт несвязанной деятельности. Кризис наступит здесь в 20-х годах 20-го века, когда математик с асс. не в состоянии быть в курсе всего. Становится такой поток научных работ, что становится необозримо. Но активно этот процесс запускается в начале 19-го века. Математический облик меняется очень сильно. Лектор напомнит несколько основных линий: на протяжении 19-го в. принципиально меняется ситуация с геометрией. И если в начале это просто геометрия, то в конце это множество наук со своими взаимосвязями. Открывают неевклидову геометрию, потом оказывыется, что за словом геометрия закр. оп. общниц.

Алгебра. Появляется линейная алгебра. Всё это происходит на протяжении 19-го в. В 19-м в. эти вещи все активно развиваются.

Третья линия. Связана с обоснованием анализа. Дело в том, что в 18-м в. в основном создаются новые средства работы, решения задач, но при этом вопрос, как это обосновать, в достаточной степени подв...

... на рубеже 19-го в то, что позже составит фундамент математики.

Ещё один пункт: матлог. Если ещё Кант мог писать, что логика не смогла сделать ни одного шага вперёд со стороны Аристотеля, и вообще сложился образ законченной науки. Принципиально ситуация мкнячется, начинают разрабатывать, что ... те конструкции, которые мы используем, в большинстве своем созданы в 19-м веке. Более того, если посмотреть, что представляет собой матлог в 20-м веке, то увидим, что это логика 19-го в.

Ещё одна линия. Ещё очень любопытно, появляется современное понимание аксиоматического метода. Во многом мы обязаны этим событием Гильберту, Гильберт это сделал. Именно он в конце 19-го века "осн. геом" он строит знам. аксиом. ... У Евклида есть то, что называется аксимомой, но тут немного другое, здесь аксиомы — система взаимосвязанных положений, в отношении которой ставим однозначные вопросы. Этот подход начинается с Гильберта. После разработки подхода форм. Гильберт поймёт, что форм. надо и логич. састь рассужд.

Вот такая картинка. Математика серьёзно изменяется.