Философия математики, 09 лекция (от 14 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_04_14.ogg

Мы закончили на Декарте. В прошлый раз мы поняли, в чём состояло отношение Декарта к математике, и специфика этого отношения. Мы поняли, что математика является универсальным орудием познания. Если же мы теперь спросим, каким же образом по Декарта происходит познание, и какую роль... В случае Платона или Аристотеля, за счёт чего мы могли утверждать, что использовали математику? За счёт двух вещей — душа с одной стороны помнила отношения эйдоса, что ... было, с другой стороны вещи окружающие подражают тем, тому в эйдосе, таким образом, между душой и ... есть соответствие, поскольку то, что мы познаем, завязано на единый предмет. У Декарта аналогично: есть субъект познания, тот, кто его осуществляет, и этот субъект некоторым образом устроил, Бог его некоторым образом устроил, сотворил, наделил разумом, и мир сотворён Богом, и поэтому, поскольку наш мир и разум сотворены одним и тем же Богом, то между ними есть соответствие. Можно предположить, что Бог решил пошутить, и устроил разум одним образом, а мир по другим законам, но это противоречит представлению о Боге, и согласие должно быть, Бог наделил нас представлениями, адекватными миру, в котором мы должны жить. Здесь везде сохраняется эта схема.

Хорошо, а из-за чего происходят ошибки, почему процесс познания проблемный? Мы этот вопрос можем задать как в отношении Платона, так и в отношении Декарта. Почему мы можем ошибаться, заблуждаться? Потому, что нарушена иерархия. Высшей частью души является разум, остальные должны быть подчинены. Платон выделял три части: разумная душа, яростная душа и чувственная, вожделеющая душа. Соответственно, так должна быть устроена иерархия. Есть диалог Платона ..., где это выражено: есть колесница, которой управляет разум, и в которую запряжены два коня, один из этих коней благородный, а другой причастный злу, и из-за него все неправильное и происходит. И если посмотреть, что происходит с душой, если ей начинает управлять конь, причастный злу, то понятно что происходит. Соответственно, этот конь — чувственная душа. Соотвенно, если мы хотим, чтобы наше познание было адекватно, то мы должны восстановить правильную иерархию. В нас должен господствовать разум. Нам не должна мешать и другая часть души. Мы привыкли оперировать понятием воли, но у Платона явно этого нет, у него есть понятие яростной части души, и тот, у кого она преобладает, должны быть воинами. Аналогично тому, какая часть души преобладает, должна быть устроена иерархия в государстве: вверху философы, у которых сильная разумная часть, воины и ремесленники.

Соответственно, если всё на своём месте, стражи лишь исполняют то, что говорят им правители, если третье сословие тоже занято своим делом, то всё в порядке. У Декарта всё аналогично. Если мы руководствуемся нашим разумом и не позволяем другим частям души ему мешать, то всё в порядке. Декарт вводит понятие естественный свет разума (lumen naturale), и если он преобладает, то всё в порядке. Но может быть то, что воля преобладает над разумом, она его опережает, или какие-то другие ... вмешиваются, которые заставляют делать поспешные, необдуманные действия. То есть, становятся возможны ошибки. Каким же образом по Декарту должно происходить познание? Декарт выделяет две основные способности: интуиция и дедукция. На первом месте для Декарты стоит интуиция, Декарт имеет в виду интеллектуальную интуицию, это то, что Декарт в других местах называет естественным светом разума. Когда разум нечто обнаруживает и одновременно обнаруживает это совершенно достоверно. Например, отличие треугольника от четырёхугольника, чётных от нечётных чисел, такие отличия устанавливаются очевидным для разума способом, и здесь невозможны ошибкы. Мы можем спросить, почему разум, а не, например, воображение? Нет, Декарт полагает, что дело не в этом. Да, когда мы отличаем треугольник от четырехугольника, то мы действительно можем представить и увидеть. Но если рассматриваем 1000 и 1002, то для разума разницы нет, но для воображения образ один. Здесь принципиально важно, что речь идёт о достоверности интеллектуальной. Но достоверным может быть не только то, что получено в результате интуиции, но и то, что получено в результате дедукции. Но дедукция для Декарта вторична. Чтобы осуществить дедукцию, нужно делать следующим образом: интеллектуальной интуицией должны быть удостоверены как посылки, так и каждый шаг. И если эти условия выполнены, то и всё дедуктивное рассуждение будет давать верный результат.

Представим себе, что перед нами небольшая цепочка, из 3-x или 4-x звеньев. Мы можем охватить её взглядом и удостовериться, что она целая. Но если цепочку взглядом охватить не можем, то можно взять один конец, удостовериться, что с ним соединено второе звено, и так до другого конца. Тогда, хоть мы по прежнему не можем ухватить цепоку взглядом, мы можем достоверно утверждать её целостность. При этом Декарт отчётливо говорит, что в дедукции нельзя ошибиться. Декарт не имеет в виду, что нельзя ошибиться в рассуждении, но это не ошибка дедукции. Причём, если мы спросим, почему Декарт так доверяет дедукции, то Декарту придётся апеллировать к теологии, и в итоге, Декарт формулирует эту мысль, говоря, что в основании нашего знания врождённые идеи. Иногда говорят, что Декарт — сторонник нативизма.

Что такое врожденные идеи? Примерно то же самое, что интеллектуальная интуиция, естественный свет разума. Но здесь появляется ещё одна коллизия: Декарт пытается выяснить, какие идеи бывают. Что такое идея? Это термин, которыя появляется в платонизме, и означает некую область образцов, на основании которой строятся ... . Когда мы обращаеися к средним векам, то эти платоновские идеи тоже произрастают и обитают, но уже в уме господа. Идея существует как замысел божий о мире. Но дальше переходит перенос от бога к человеку. И теперь термин идеи начинают применяться к тому, что в уме человеческом, который сответсвует по образу и подобию божьего ума. Ум человеческий отличается от ума господа, но для философов нового времени важнее сходства, а не различия, то, что по принципу действия он устроен аналогично, поэтому он и может постигать этот мир, божественный замысел. Поэтому идея у современников Декарта начинает означать всё, что имеется в нашем уме. Какие идеи бывают по Декарту:

• Благоприобритенные, приобритенные с опытом. Если мы никогда не видели корову и никто нам о ней не расскажет, то мы о ней не знаем, идея о ней только с опытом
• Созданные идеи: можно взять идею человека, лошади и создать идею-кентавра
• Но есть ряд идей, которые ни к первой группе, ни ко второй. Такие идеи называются по Декарту врождённые.

Других источников и нет. Тут правда есть неприятный вопрос о действии абстрагирования: многие современники считали, что это наше действие, наряду с комбинириванием.

Итак, у Декарта оказывается, что есть врожденные идеи, и изначально разг. о врожденных идеях разг. как о коллизии: какие идеи — врожденные? Все ли идеи получены из опыта, или есть врожденные? Были сторонники эмпиризма, которые утверждали, что все идеи могут быть возведены к чувственному опыту. Декарт считает, что так сделать нельзя. Правда, здесь есть одна хитрость: дело в том, что если мы понаблюдаем за аргументами, которые выдвигают сторонники эмпиризма, и их противники, сторонники нативизма, то здесь довольно любопытно, различие не столь велико, как может показаться. Декарт ведь не утверждает, что Бог вкладывает в наш разум некие готовые представления. Конечно, это не так, и Декарт это прямым образом пишет, пишет, что без соответствующего опыта никаких идей не обнаруживается, он даже говорит, что когда он утверждает, что есть врожденные идеи, то ничего более, что есть некая структура разума, не говорит. Есть некая потенция врожденная, и чтобы эта потенция реализовалась, требуется некий внешний повод. Без этого идея не актуализируется. Тем самым он отвечает на возражения тех, что приведите пример врождённой идеи. Если взять идею Бога, то туземцы племени мумба-юмба имеют совершенно иные представления. Или врождённая истина, 2 + 2 = 4, то вот вам умственно отсталый человек, он не имеет об этом ни малейшего представления. Эти возражения не работают, если мы понимаем нативизм, как потенциальную врождённость, так как не было достаточного повода, чтобы идеи актуализировались. Но есть одна хитрость: дело в том, что сторонники нативизма убеждены, что если врожденные идеи активируются, то они активируются определенным образом: если дошли до арифметики, то обязательно получим 2 + 2 = 4 или ничего не получим. При этом, если мы спросим, почему так, то Декарт ответит, лишь, что Бог так пожелал. За этим стоит выбор Бога.

Ещё один важный момент: Декарт с одной стороны не допускает различия, что у одного один опыт, у другого другой и у них всё разное получается, есть набор идей, которые актуализируются одним способом; второе, что касается математики: некий повод, толчок требуется, если что-то не так, то актуализация не произойдёт, с другой стороны, не стоит переоценивать роль опыта; опыт должен запустить, но не более.

Дальше --- точка зр. Лейбница. Л. --- один из крупн. матем. этой эпохи и один из крупнейш. метафизиков. Он был чуть похже (если Д. --- середина 17в., то Л. --- рубе 17 и 18). Позиция Л. во многом похожа, но есть отличия. Что касается позиции Л. по врожд. идеям, то она оечень похожа на позицию Д., известны знаменитые слова Л., которые находятся в предисл. к больш. книжке "новый опыт о человеч. разумении", он отмечал, что эмпирики правы, нет ничего такого, что есть в разуме, что не было дано в опыте и в чувствах, с одной поправкой: кроме самого разума. Эмпирикам легко удаётся вывести ... из чувств, поскольку они предп. некую деятлеьность самого разума. Или как это было у Локка, у которого наряду с идеями чусственного воспр., он, для того, чтобы получ. всё,что ему было нужно, вводил ideas of refl., то есть разум может получать идеи, набл. за деят. самого себя. Понятно, что Д. утв. близкую вещь. И у тех, и у других понятно, что без чувств не обх., вопр. в том, на чём ставится акцент. Если подч. деят. разума, то приходим к позициям разионализма, если уделяем внимание деталям получ. знаний, то получ позиц. сенсуалистов. Поэтому озн. ощущ., что спор между ними есть результат непонимания позиции друг друга. Но лектору интересна коллизия, то, о чём спор. Л. действ. предп., что наш разум не подобен чистому листу бумаги, на котором можно писать всё, что заблагорассудится, а он подобен сокрее некоей хитрой глыбе мрамора. Если, конечно резец опыта не будет в неё вгрызаться, то она так и останется глыба мрамора, но если он будет это делать, то она будет обработана и откроется статуса. причём эта глыба имеет прожилки, и мы можем получить только опр. статую. Однако в разраб. вопроса о том, как и почему мы обл. какими-то идеями, почему именно такая матем., а не другая, Л. отвечает по другому. Если Д. сразу апелл. к решению Бога, то Л. идёт дальше. Конечно, у него Б. также не явл. обманщиком, и Л. выдв. это одним из постулатов метафизики --- идея предуст. гармонии. Но как это выглядит: Л. строит свою физику как монадологию. Когда Б. сотворил мир, он что сотворил? Он сотворил монады. Что есть монада --- полноценный мир. По Л. каждая душа --- монада. При чём, мы бы не сказали, что воспр. весь мир, то по Л. это не так. Если мы возр., то Л. отвечает: воспринимаете, но не отчётливо, а смутно, то есть в нашем воспр. всё, что происх. в этом мире. Т. о. монада воспр. весь мир, и они отлич. тодько ракурсом. Но Б. не может сотв. какие угодно монады. между ними должно быть согласие. Согл. Л., мы можем сказать след. образом: Бог может сотв. не всё, что угодно, напр., он не может сотв. противореч. мир, мир должен быть внутренне непротиворечив. Причём Л. переходит от антологии к логике и обратно, с т. з. Л. это одно и то же. Разуму Б. представл. все возм. (непротивореч.) миры, и эти миры можно между собой сравнивать, и дальше божеств. разум, созерцая все возм. миры, решает беск. сложной задачи оптимизации: он среди всех миров выбирает лучший. Но так или иначе, он её решает. Более того, Л. убеждён, то задача имеет ровно одно решение, в противном случае Б. никакого мира не сотворил, поск. Б. оказался бы в ситуации буриданова осла. В случае их объед. это ещё один мир, либо противореч., либо лучший и единств.. Здесь Л. различ. божеств. разум и божеств. волю.

Но когда Бог творит мир, что же это значит? Ведь монада опр. только чем? Своими воспр., которые могут опис. как сист. выск. Кроме того, Бог творит беск. мн-во монад., между которыми должно быть согласие (предуст. гармония). Монады не взаимодействуют, но между ними есть согласие. При этом если есть разговор между двумя людьми, то он сущ. двояко в предст. обоих. Это и есть предуст. согласованность. Но это не сводится к солепсизму, когда человек порождает всё, что воспринимает. Но матем. сущ. не только в нашем мире, но и в любом мире. Здесь Л. вводит истину разума и истину факта. Л. считает, что некие утв. истины в силу структуры, содержат скрытую тавтолгогтию: истинныве утв. могут быть привдеены к иду А есть А, ложные --- к А есть не А. Истина разума есть в каждом возм. мире, но как же так? Если же мы договоримся считать, что мир опис. не только тем, что есть, но и тем, чего нет, то утв., отриц. истину разума, содерж внутр. противореч. И здесь Л. не согласен с Д. поскольку считает, что 2+2=4 в любом мире, а не потому, что мир так сотворён. Рассм:

2+2=4
Сначала определим, что такое 2 и 4:
2=1+1
3=2+1
4=3+1
Дальше Л. предлагает проанализир. утв., заменив опр.:
2+1+1=4
3+1=4
4=4

Конечно, мы польз. не только этими опред. По крайней мере, мы исп. закон ассоц. Тем не менее, Л. предп., что дело обст. подобным обр., что матем. врождена не только человеку, но и Богу, поскольку она вместе с логикой явл. основой божественного мышления. Бог мыслит непротиворечиво, соотв., во всяком мире соотв. законы будут выполнены. При эом Л., отвечая не вопросы, не огр. ли это божеств. всемогущество, Л. отвечает, что это недоразумение, поск. действовать в соотв. с законами логики и матем есть в природе Бога и рассм это как огранич., нельзя.

Итак, наш мир, как и все возм. миры, подчинены этим законам.

Это были истины разума, истины факта специфичны для мира, и можно предст. мир, где это не так.

Ещё один важный момент. Л., в связи со своим таким пониманием, как и Д., а Д. пытался разраб. универс. метод позн., таже и Л. носился с идеей некоего собого такого языка, назывался универсальной характеристикой. Одно из знач. слова характер это знак. Л. полагал, что если бы мы могли выбр. неким правильным образом выбр. язык, то мы могли бы отвечать на любые вопр. познания, мы могли бы их разрешать напримере того, как человек разреш. арифм. задачи. И тогда между философами поводов для спора было бы не больше, чем между вычислителями. Любопытно, что при таком взшл. присутствует один момент: в каком сл. человек мог бы обл. такой способностью? В том, если бы он мог полностью познать божеств. замысел, его бы разум сравн. с божеств., он бы познал ... . И есть такое впеч., что Л, забывает, что есть серьёзная дист между человеч. разумом и божеств., хотя сам же в других местах указывает.