Философия математики, 06 лекция (от 24 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_03_24.ogg

В прошлый раз лектор рассказывал о философии и математике Платона, о мифе о пещере и о теории разделённого отрезка. В результате мы видели, что Платон выстраивает некую онтологическую пирамиду. Вверху Благо=Единое, внизу Материя. Материя выступает как принцип множественности, изменчивости в платонизме. Между верхним и нижним полюсами располагаются какие-то уровни, и от перехода снизу вверх нарастает множественность, дурная множественность. Это имеет и отношение с тем, с чем имеет дело математика. Если мы спросим, где находится то, с чем работает математика, числа, фигуры, то этот ответ не так прост, каким он был в прошлый раз, когда мы сказали, что математик находится посередине. Да, эта серединная область является ... для математика, но по Платону числа находятся на всех уровнях.

Возьмём треугольник. Во-первых, по Платону существует эйдос треугольника, умопостигаемый, и, наверное, единственный. Далее, есть ..., и мы получаем геометрический трегольник. Здесь треугольник уже не единственный. Если мы спустимся ещё ниже, то получим чувственное восприятие: можно сделать чертёж, превратить в нечто чувственновоспринимаемое, воспользоваться треугольником при создании чувственновоспринимаего предмета. Причём переход этот от единственного к множественному. В эйдосу треугольник один, дале геометрических треугольников много, и одно геометрическое соотношение может использоваться многократно.

Так устроен весь платоновский ... . Каждый нижележащий уровень есть отражение предыдущего и его умножение. Причём, Платон говорил о материальности, но исключительно в отношении чувственновоспринимаемых вещей. Неоплатоники ... . Метериальность она различная на разных уровнях. Материальность чувственновоспринимаего не такова, как та, которая в воображении. Материальность в сфере чувственновоспринимаего связана с уничтожением и становлением, с невозможностью воспроизвести, и здесь в чистом виде повтора нет. В частности, сколь угодно много могут рождаться люди, но все они будут разные. Все эти события — система случайных отклонений от образца. Соотвенно, если мы говорим об уровне воображаемого, то здесь большая устойчивость, но здесь одно и то же геометрические соотношения можно воплощать на чертежах. Все чертежи будут разные, но они будут чертежами одного и того же. Здесь в каком-то смысле эти геометрические соотношения есть действительная множественность, но здесь они устойчивость.

Если поднимемся выше, то тут тоже есть множественность, но она своеобразна. В эйдосе идей много, но эта множественность подчинена странному закону: всё во всём, здесь всё внутри всего находится, всё тесно связано. Из любого эйдоса может быть увиден весь мир и другие эйдосы. Здесь степень единства максимально высока. Выше мы только можем подняться в точку, где всё едино. Тем не менее, Платон выделяет срединный уровень. По Платону, эйдосы фигур, эйдосы чисел не есть сфера интересов математики. Заключения в математике гипотетические, есть некий более высокий уровень, где эти объекты есть. Но математик не работает как таковой непосредственно с эйдосом, он работает с отражениями, с тем, что от них зависит. И, опираясь на эти предпосылки, он способен давать развёрнутые суждения и даже, чего Платон не одобрял, применять на практике. В дисциплине мысль движется сверху вниз. Диалектическая же мысль по Платоны движется снизу вверх. Поэтому и занятия математикой будут правильны, поскольку они помогают в этом процессе восхождения, они позволяют построить мостик.

...

Учение о том, что материальность бывает самая разная, есть у Плотина. Учение о единице есть у Аристотеля. Для разъяснения позиции Платона лектор привлекал дальнейшие идеи.

Аристотель

Несколько слов об отношении Платона и Аристотеля: с одной стороны, Аристотель — ученик Платона, он провёл 20 лет в стенах платоновской академии, и только после смерти учителя основал собственную школу. В то же время, Аристотель имел очень активную и резкую критику Платона. С другой стороны, являлось ли это уникальным для Аристотеля? Вообще говоря, нет. Ведь и у последователей Платона не было никакого согласия. Платон вообще не создавал некую общешкольную догму. Он создавал творческое пространство.

Платоники предпочитали видеть скорее согласие между Платоном и Аристотелем, нежели противоречие. Хотя и не игнорировали противоречия. Если мы посмотрим ..., то утверждать, что есть линия Платона, есть линия Аристотеля — перебор, с другой стороны, можно утверждать, что есть вещи, которые можно возвести к Платону, к Аристотелю. На известной картине Рафаэля Платон вознимает руку в небо, Аристотель — к земле. И действитекльно, у Платона преобладает мотив бегства из этого мира в некий божественный мир обратно. Что же касается отношения Платона к сфере чувственно воспринимаего, преобладает впечатление о том, что чувственно воспринимаемое непостижимо и непознаваемо. Чувственно воспринимаемое служит неким толчком, чтобы запустить механизм припоминания. Нет специального знания, которое было бы знанием чувственно воспримаемого. Школа Аристотеля уделяет много внимания к сфере чувственно воспринимаемого. До сих пор удивляются скурпулёзности, с которой описана сфера чувственно воспринимаемого мира.

В друго стороны, если посмотреть на теоретические достижения Аристотеля, то он разработал систему понятий, исходя из Платона, но разработал самостоятельно так, что можно говорить о сфере чувственно воспринимаемого. В тоже врем сохраняются вещи узнаваемые. Например, Аристотель говорит, что знание может иметься о том, что всегда, как минимум, большей частью. Аристотель описывает кинезис (движение)...

...

Если мы спросим, какие осн. достижения А, какие осн понятия он вводит? Здесь надо сказать, чот А вводит различие сущности и её свойств. Во-вторых, это вообще самое главное откр А, А вводит разл. бытия в возможность и в действителность. На этом различии построены все наиболее важные его рассуждения. При этом, если мы возьмём этот важный ход.... что является первичным? Мы может сказать, что ЧВ-вещь, но она не явл. себе тожд, но тогда бы она е бл=ыла ЧВ-вещь. То есть, первично ЧВ-вещь сущ. как процесс. Дальше в отн. этого процесса можем ыыодить некие различия. Можем скзаать, что есть некиц субстрак, некое свойствл. Или можно сказать, что этот процесс --- переход из возм. в действ. А. будет отталкиваться от понятимя мат., который появляется в диалоге Тимей, но переосмысливает его. У А. материальность привязана к конкр. процессу. Поэтому сказать, что нечто явл. материей или формой, невозможно.

Есть некий единый процесс, и если всё к нему привзявается, то и то, с чем работает матем. Каким образом? Математик, введа различия, с помощью них пытается авно ответить, чем занимается матем. Нужно заметить, что у А нет спец. трактатов, посвящ. математике, более того, у него множество выцсказываний, котрые равномерно рассыпаны везд, в самых разных местах, поэтосу всегда это некая выборка, реконструкция. Неслучайно один из авторов 20 века писал сборник А в виде трактата.

Если мы начинаем разбираться с этим процессом, то выясн, что у процесса бывают сущности, есть свойства сущности.

...

Движущей причиной является формат, форма, она же целевой. Схоласты моугт утверждать, что вот гнездо вьют,но птенцы отличаются. Если посмотрим подробнее, то нельзя сказать, что форма в конце или в начале процесса, можео сказать, что процесс происходит потому, что есть форма. На этот вопрос А утвечает в трактате, учении о читых форм. Это учение крайне непонятно в деталях.

Итак, оказывается, что все рпоцессы возможны блаодаря сфере ума-перводвигаетля. Она приводи в движение небесные тела и через них всё остальное. В какой-то смысле всё происх. потому, что наличествует в уме перводвигатель. И нельзя сказать, что она сущ. до, во время или после, поскольку это основа сущ. ... Благодаря этому сущ. чувственно-воспр. процессы. Эти процессы и есть некая форма, которую они пытаются воспр.

Какое отношение имеет это к матем? Псокольку А скзаал, что предметы сущ. ... не в дейтв, а в возм, то возн. вопрос, с чем рабоатет матем: с материей или с формой. Да, матемне может работать мез наличия материи, но предмет интереса --- форма.Да, формы обнаруж. нами внутри конкр. процессов, но сами процессы возм. должны сущ. в уме-перводвигаетеле, котороый напоминает сферу Эйдоса. Да, У-П не описывается так подробно, как Э., он действительно похож на сферу бестелесного, нельзя казать, что он находится в конкр. месте, тем не менее, А никуда не удаётся от этого деться. В итоге оказывается, что мы всё равно вынуждены опер. в сфере чистых форм.

Но всё же, обратим внимание, А всё-таки какие-то вещи интересные проговаривет. Например, есть количество ... Вообще, фраза, что матем. изучает колич..., она имеет корни у А. Во-вторых, появляется понятие абстракции, то есть нечто, которое сущ. в процессах, но рассм. как независимое. У Арист. есть ещё ряд интересных вещей.

Для дальн. окажется важным ряд вещей, которые А. говорит о беск. Соотв. глава есть в А-ской физике. Что касается бесконечности: вообще, как отн. к беск. в античности, вообще к беск. в ант. относятся отрицательно, это понятие как нечто неопр, это нечто, соотвн сфере материальности, неопр, неустойчивости. Если мы вспомним пифагор пару предельное-беспредельное, то пред связано с Эйдосом, беспред --- со материей. Тем не менее, в матем беск. себя проявляет. Это было понято в связи с понятием числа, когда мы можем бесконечно продолж. ряд чисел. Во-вторых, уже в конце 5 века Зеноном были построены знаменитые апории, то есть, было известно утв. о беск. делимости отрезка. То есть, отрезки бесконечно делимы. Отрезок понимался как линия, то есть конеч. Обратите внимание, что для греков линия конечна. Те мне менее, линия разная, и один из постулатов Пифагора постулируетЮ что мы можем удлиннить линию, но беск. нет.

Второе, почему проблема беск вылезает в проблемах о физике? Матем работает с конечными вещами, ... то есть космос конечен. Аристотель приводит ряд доводв в пользу этого утв. Например, в беск. вселенной невозм. было перемещение. ... У движения есть некая цель, а если цель состоит в перемещении, в чём здзесь может быть цель? Прийти в опр. место, но для этого должна быть выделенная система мест, но вб равномерном, беск. космосе таких мест не будет. А так космос конечен, в нём есть абс. система мест, есть центр, есть периферия. А тут получается так: матем. работает с конеч телами, но можно и работать с беск, как этовозм? И А вводит рассужд, которое в дальн. тоже будет знаменито. Мы уже скзали, что у А есть различ возм. и дейст. А: можно скзаать, что пример бесконечен, но он беск. в возм, но не вдейств, то есть эта бесконечность потенциальна, не актуальна. Другими словами, что, собственно, здесь делает матем. с точки зрения А. Каким образом, всё увеличивая линию, он может не вылезти за рпедлы космоса: гемоетра не интересуют абс. длины, его интересуют только отношени, поэтому всегда можно представить структуру такого размера, которая в космос поместится. То есть, мы постоянно корректируем размеры. За счёт этого всё тут укладывается по А. С другой стороны, что из этих утв. нужно вынести: матем. заним количествами, согласно Аристотелю, матем. работает толко с потенц. беск, кроме того А подчёркивает, что всё, что он может делать, он может делать, исп. только потенц. беск. При этом это предст. будет серьёзно держаться в плоть до конца 19 века. Кантор в то время много полиметизировал на тему возможности работы с актуальной беск. Этот момент идёт от А и он ист. значим.