Философия математики, 05 лекция (от 17 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_03_17.ogg

В прошлый раз мы должны были закончить первый смысловой блок. Мы попытались поговорить, откуда взялась математика в том виде, в котором мы её представляем, как она появилась. И хотя есть несколько мнений, лектор рассказал некую версию, в становлении математики сыграло два фактора: она возникает как связанная система дисциплин, и эта система появляется в рамках тайного, закрытого сообщества, пифагорейцев, и эта система имела религиозный характер. Но дальше эта система представлений выходит за пределы пифагорейского сообщества, и попадает в контекст греческого полиса, в котором характерны определенные отнощшение к слову, интеллектуальной деятельности, и в этом составе она попадает в форме агональной структуры, и тоже принимает форму агона, соревнования. В связи с этим математика не погибает, а укрепляется, и, кроме того, принимает форму нарочитой, казуистической доказательности, которую мы видим в Началах Евклида.

Следующий смысловой блок связан вот с чем: в 4 — 5 вв. в Греции появляется математика, и в этот же период фактически, в 4-ом веке, возникает некая рефлексия, философская рефлексия относительно математики, некие рассуждения относительно природы, специфики математики. И здесь есть два основных автора: Платон и Аристотель, причём... в принципе, Платон и Аристотель — авторы, которые относятся к 4-му в., и они очень тесно с собой взаимосвязаны. Аристотель был учеником Платона, и перед основанием своей школы провёл 20 лет в Платоновской школе. И несмотря на их противостояние, они представляют единое течение мысли. А что, кроме них, ничего не было? Греческая культура существовала до 6-го в. после РХ, почти 1000 лет, неужели за это время не появилось ничего более существенного по осмыслению математики? Удивительно, но не появилось. Поскольку оказалось так, что основной интерес к математике проявляли те философские школы (мы говорим о времени после завоеваний Александра Македонского), которые являлись последователями Платоновской школы: неоплатоники, неопифагорейцы, неопатетики (представители школы Аристотеля), и в общем-то они не создали какого-то нового направления в освоении математики, они варьируют, но в основном те же мысли, что мы находим у Платона. Это ценный материал, но он скорее представляет комментарии к Платону и Аристотелю, нежели самостоятельные произведения.

Другие школы серьёзного интереса к математике не проявляли. Это касается эпикурейцев, стоиков. Это касается скептиков. Да, действительно в корпусе скептических текстов, что у нас есть, много ценного относительно математики, но их задача не в том, что создать самостоятельный взгляд, а показать несостоятельность существующих взглядов, мы находим у них замечательную критику, но ничего нового у них нет. Поэтому Аристотель, Платон и комментарии составляют в основном философию математики. Поэтому рассказывают, эсли это не спец курс, рассказывают о Платоне и Аристотеле, а поздних комментаторов используют как комментаторов.

Перейдём к разговору о Платоне. С Платоном фактически связан первый в истории европейской культуры полноценный взгляд на природу математики. При чём любопытно, что математика играет в Платонизме серьёзную роль. Это не периферийный предмет для осмысления, а один из центральных моментов. И вообще ... традиция, отношение Платона к математике зафиксировано. Несколько анекдотов: над входом в школу Платона была надпись "не знающий геометрию да не входит сюда". Эта история достаточно красноречива. В то же время, она показывает, что математика рассматривалась как некий пропуск. Она действительно выполняла некую подготовительную функцию к философии (от обыденного человека к философу). Ещё один античный анекдот, может два: ещё один анекдот рассказывает про его преемника, Схоларха... Однажды к ... пришёл молодой человек, который пришёл обучаться в школе, и заметил, что он пренебрежительно относится к математике, и он ему сказал "уходи, ты не сможешь ухватить философию". То есть, действительно, математика как бы рукоять для философии. Второй анекдот: Платон читал публичную лекцию, и заявленная тема: о благе, и как рассказывает доксограф, на неё пришла куча публики, которые пришли послушать о благе, но они были крайне удивлены и разочарованы, когда узнали, что Платон рассказывает о числах, многие расходились и поносили его. Взаимопонимания с аудиторией найдено не было. У Платона понятие блага было связано с математикой, у публики иначе.

Таким образом, платоновская школа относилась с большим интересом к математике. И здесь не обойтись без главной концепции платонизма: идее, или эйдосу. По Платону, наряду с чувственно воспринимаемым миром, миром, который можем осязать, обонять, вместе с ним существует сфера подлинного бытия, бытия самого по себе, и это подлинное бытие непосредственными чувствами невоспринимаемо, оно, по Платону, доступно лишь кормчему уму, то есть, только умозреть.

Читая Платона, видим, что это отличие, мира эмпирически, который мы воспринимаем опытом, а есть мир подлинного бытия, который мы воспринимаем лишь умом. И вроде бы они противоположны друг другу. Чувственный мир невозможно мыслить, он иррационален, и сферу подлинного бытия невозможно воспринимать чувственно. Вместе с этим отличием, по Платону, есть тесная связь и сходство, значиельно большее, чем хотелось бы видеть поздним читателям Платона, в позднее время, особенно в наше. На самом деле, Платон воспринимает сферу подлинного бытия, как он её понимает, можно увидеть, что он её понимает как очень похожую на сферу воспринимаего бытия, с одним различием: осязаемое бытие подобно гераклитовской реке, изменчивой, что-то возникает, что-то изменяется, ничто не остаётся себе тождественным. В этом смысле подлинное бытие вечно, тождественно само себе, и в этом главное отличие, но в целом подлинное бытие мыслится Платоном как квазивещи, квазипредметы. И в диалоге Платона мы можем прочесть, что наша душа, до того, как стать душой человека, находилась в некоей занебесной области, гиперурании, и там эти души могли созерцать то, что он называл поле истины, сферу подлинного бытия, платоновские эйдосы. Дальше происходит некая катастрофа, душа утрачивает способность, утрачивает крылья, переходит в то состояние, в котором сейчас находится. Если посмотреть, как Платон описывыет эти эйдосы, да, душа их воспринимать не может, но это связано с текущим состоянием. Если спросим, чем она их воспринимает, то Платон наверное ответит умом, но сам ум мыслится Платоном по аналогии со зрением, и это видно на уровне терминов, все термины, которыми Платон описывает процедуру мышления, оно содержит аналогию с чувственным восприятием, например, умственное восприятие: теория, оно означает то, что можно видеть. Платоновский эйдос, что такое: "вид", то есть образ. То есть, все они сохраняют аналогию с чувственным восприятием. И если откроем ... Платона, то увидим все эти аналогии. ...И этот перевод сохраняет аналогию, "умное зрение", то есть, наряду с обыкновенным зрением, мы можем умозреть, и пока душа находилась там, она могла умозреть, пока не было катастрофы, ..., и когда она оказалась в нынешнем состоянии, она должна выбраться из колеса перерождений, и философия — наиболее краткий путь из него выбраться.

При этом, чем занят фидлософ? Философ занят познаниями, он занят тем, что он пытается от чувственно воспринимаего мира, который нам навязан, дан как нечто само собой разумеющееся, для обнаружения чего ничего не требуется, обратиться к истинному миру, и этот мир не только существует, но и является более реальным, чем тот, который воспринимают чувства. Это главное, что отличает философа, и главное, что позволяет освободиться от телесного состояния вообще.

Каким образом происходит познание по Платону? В ряде диалогов он описывает это словом "анамнезис", припоминанием. Это довольно забавная вещь: душа, обращаясь телом, забывает, что было, когда она была бестелесной и созерцала своим умом истинное бытие. И забыв свою подлинную природу... Дальше оказывается, что воспринимая мир чувственный, обнаруживается одна любопытная вещь: этот мир чувств не полностью противоположен истинному миру. Мы можем различать, улавливать устойчивость, предметы меняются, но они не представляют собой непрерывно меняющийся хаос, мы можем различать: человек, стол, лошадь, то есть устойчивость минимальная есть. И оказывается, что природа этой устойчивости не иная, чем природа истинного бытия, и наша способность различать что-то чувствами и высказывать о них мнения: это отличается, больше, лучше... держится на двух моментах: с одной стороны сами эти предметы являются странной штукой, они возникают, как у Платона в диалоге Тимей, в результате компромисса, они подражают, как некая обезьяна, кривое зеркало, отражают подлинное бытие, пытаются его изобразить, но изображают не очень удачно, плохо, как отражение в кривом зеркале, это неудачливость состоит в неусточивости, искажённости. У нас есть явление, называется человек, все они — попытки, которые пытаются изобразить явление эйдоса человек. Представим систему зеркал, отражающих один предмет, возникает ощущение толпы, но на самом деле этот предмет, без него ничего этого бы не было. И действительно оказывается, что есть странное материальное начало, которое ... эту усточивость. И есть устойчивость в этом мире, которая эти формы воспринимает, подражает, воспроизводит в себе. То есть этот мир — странная штука, которая воспринимает мир полдлинного, душа. Но и наша душа обладает чем-то таким, в ней есть нечто, которым она обладала, это состояние не знания, но и не пустоты, это некая переходная, от состояния незнания к знанию, и это только потому, что она когда-то это знала. Всё это движение по кругу: полнота души, которая пребывала..., утрата, медленный постепенный процесс познания, восстановление этого знания. Процесс познания движется в сторону замыкания круга. Процесс познания возможен, поскольку есть образец для мира и души. И здесь есть изначальное согласие: сфера образцов одна, она одна для всех, изначально есть сфера устойчивых образцов, на которой всё замкнуто, и на этом основано чувственное восприятие. Но чем ближе мы к тому, что можно назвать познанием действительно, тем отчётливее проступают эти образцы. Но сами образцы это некая предметность, это вещи, который не уничтожимы и не изменны, но они находятся за некой областью. Это всё телесно, но телесность бывает разная, причём слово телесность тоже нехорошее, всё имеет некую предметность.

Где в этом контексте появляется математика? Чтобы лучше это понять, лучше вспомнить платоновский миф о пещере. Лектор не уверен, что мы знаем его в пересказе, а не в оригинале, поскольку в оригинале там есть про математику. Характерно, что пещера вообще возникла в контексте математики. То есть, этот рассказ вмонтирован в контекст разговора о математике. В чём состоит этот миф: миф о пещере представляет собой рассказ о том, что мы с вами, люди, подобны узниками, которые сидят в глубине практически полностью тёмной пещеры в практически полной темноте. Всё, что узники видят: только смутные тени, которые пробегают по стенке. И учатся различать, что по стенке бегают. Причём узники с рождения в таком состоянии, и не знают ничего другого. Они не знают, что за тени бегают, и есть ли мир вокруг. Задача философа — выбраться из пещеры. Соответственно, пещера — мир чувственного бытия, окружающий мир — мир непосредственного бытия. Какая главная проблема, с которой сталкивается человек, который всё время находился в темноте, и которому придётся выйти на яркий свет и что-то видеть и различать? Он ослепнет и ничего не увидит. Платон считает, что надо подготовить его глаза, и математика осуществляет подготовку глаз души, подготовку от чувственного видения, к умному видению.

Как Платон описывает это дословно: платоновский Сократ говорит, если узнику надо выйти из пещеры, то лучше сначала смотреть ему не на мир в солнечном свете и не на само солнце, а на него в ночном освещении или на тени. В этом смысле здесь и говорится о занятии математикой. То есть математика — то, что находится вне пещеры, но в тоже время, то чем она занята, не есть вещь сама по себе, и относится оно к нашему миру, как тени, отражения в воде, также, как к бодрствованию относится сон. Такая вот картина. Оказывается, вне пещеры тоже есть свои тени, отражения, таков статус математики.

Теперь попробуем эту мысль более аккуратно: Платон, для того, чтобы пояснить. эту мысль в конце 6-й главы государства, предлагает представить процедуру деления отрезка: предлагает представить отрезок, поделённый на две неравные части. Смысл этого отрезка понятен: большая часть — сфера истинного бытия, меньшая — чувственное бытие. После чего предлагает поделить каждый из отрезков в том же отношении. Получается 4 отрезка. Для чего это делается: чтобы в сфере подлинного бытия тоже произвести различение. Когда Платон говорит о делении отрезка, он говорит о различных онтологических уровнях, о неких уровнях бытия, а иногда он говорит о некоторых познавательных способностях. Платону всё равно, о чём из этого говорить, поскольку тут практически полный изоморфизм: по Платону, человек — микрокосм, в нём есть отражение всего вокруг. В каком-то смысле человек досягаем. Для всего в этом мире есть способность человека, и если получается тяжело и странно, то это предмет тяжёлый и странный. Сделаем ещё один отрезок, у Платона этого нет, будем подписывать познавательную способность:

• noesis
• dianoia
• pistis
• eikasia

Если возьмём русский перевод, то они будут переведены так:

• Разум
• Рассудок
• Вера
• Уподобление

Что это за способности, на что они направлены, как они отличаются?

• Noesis направлена на то, что Платон называет eidos, подлинное бытие, как таковое, то есть, способность мысления, умозрения, как-то так. Главная способность, которую должен развить/восстановить философ
• Pistis — вера. Если мы хотим понять, что понимать под верой, то вера — это принятие набора положений, доверие. Pistis направлена на чувственно воспринимаемые предметы. Почему способность чувственно воспринимать предметы характеризуется верой? Потому что мы принимаем как некую данность. Лектор видит нас и верит, что мы присутствуем, он действительно читает нам лекцию. Мы воспринимаем данное чувство как нечто наличное, как нечто, что с доверием понимаем
• Eikasia — уподобление. Однокоренное слово — икона — образ, уподобление. Платон говорит, что направлена она на отражения, тени, в данном случае в чувственно воспринимаемой сфере. На самом деле, почему в отношении объектов и теней употребляется слово eikasia, уподобление. Задумаемся, чем отражения и тени отличаются от предметов: тем, что мы их воспринимаем как нечто вторичное по отношению предмету. Еси тень не воспринимается как некое вторичное, то просто тёмное пятно. Если отраж не воспринимается как вторичное, то мы воспринимаем это как другой предмет. Разделение сферы чувственно воспринимаего бытия на два уровня Платону нужно, чтобы сказать: а теперь представьте, что бытие разделено таким же образом, и после этого уже по аналогии можно представить, как обстоит дело здесь
• И здесь находится математический предмет. То есть, то самое, с чем имеет дело математика, тот онтологический уровень, с которым она работает. Эта (dianoia) что за способность? Рассудок. Тут есть приставка рас-, dia, корень с noesis один. Это некий промежуточный уровень. Это способность, которая является мышлением, но отличается от неё. Если noesis есть умозрение, также ум схватывает и опознает предметы, а в dianoia — есть некое движение, переход, способность, отвечающая за рассуждения. То есть, что в noesis присутствует в виде мгновенного схватывания, в dianoia есть процесс рассуждения.

pistis и eikasi — aistesis + doxa, noesis — бытие, а dianoia — посередине. Способности, которые человек эксплуатирует, когда занимается математикой — серединные. Такие рассуждения проводит Платон. Далее следует миф о пещере.

Чего ещё не хватает: Платон очень много говорит о благе. И в результате в принципе браго венчает с одной стороны всю конструкцию, с другой стороны, венчает сферу чувственного бытия. Есть аналог — солнце. В государстве Платона: как солнце даёт существование всему видимому миру, также благо играет ту же роль в области подлинного бытия, обоснование всему сущему вообще. С одной стороны, благо — источник света и жизни, но кроме того, видеть этот мир мы не сможем без него. Соответственно, благо — аналог солнца только в области умопостигаемой. И это воспроизводится в мире о пещере. Миф о пещере воспроизводит эту структуру деления отрезка. И рассказывается он причудливо. Есть пещера, узники, откуда тени? За узниками есть ширма, и нечто в виде кукольного театра, а дальше выше, но внутри пещеры горит костёр, который освещает всё это дела, и от него тени, а дальше, за пещерой, солнце и свои тени. Зачем так сложно? Почему не тени от солнца? Потому что исчезнет аналогия. Это несколько искусственно, но и искуственно это деление.

Откуда кукольники и ширма? У Платона это не объясняется. Платон любит вообще рассказывать мифы, но если мы начнём приставать к нему по поводу деталей, то ничего мы не добьёмся. Чаще всего ему надо создать образ отчётливый, которым надо впечатлиться. Это вообще характерно для определенных культур. Обычно это всё излагается изустно, в виде притч, притчи могут быть разные, но многие из них могут иметь близкий смысл. И задача такая: часто эти притчи нарочито парадоксальны. Они могут оперировать привычным образом, но могут удивить ситацией нестандартной. В евангельских притчах обыденные образы: богач, виноградник..., но есть персонажи, которые очень странно себя ведут. Например, легче пройти верблюду сквозь угольное ушко... это парадоксально, и образ отпечатывается.

Платон не использует образов, которые неизвестны. Но очень странно, какая-то пещера, мы — узники, создаётся некий образ, всё узнаваемо, но гротескно, поэтому не все детали имеют интерпретацию, но если будем долго думать, возможно, сможем придумать красивую интерпретацию, но это не лучший способ осмысления текста. Тут важно ухватить суть, которая важна по контексту. По контексту Платон в государстве занимается тем, что описывает идеальное государство, кто им должен править, философы, и возникает проблема, как отличать философа от праздного зеваки, и Платон говорит: есть чувственное, есть подлинное, и истинный философ интересуется подлинным. Дальше начинается длинное и пространное рассуждение, как отличить философа от учёного, и для этого он проводит различие в сфере подлинного бытия: учёный занят этим, а философ этим, и миф о пещере нужен именно для этого. Дальше рассказ о том, как обучать философов, как обучать математике, чтобы получались философы, а не учёные. И действительно, оказывается, что математика занимает промежуточный уровень. Вот, собственно, платоновский контекст.

Вообще чуть подробнее по поводу онтологической пирамиды: лектор говорил про соответствие между познавательным способом и структурой бытия. И можно задать вопрос, что соответствует благу? В диалоге о государстве ответа нет: там говорится, что благо на грани бытия, как солнце на грани чувственного мира, поскольку оно слишком яркое, чтобы его воспринимать. И здесь задача обнаружить, что оно есть. Есть некий центр, который скрепляет всё и даёт жизнь. О его восприятии вопроса не стоит, но вопрос этот будет затрагиваться далее. У Плотина, 3 в. н. э., основателя неоплатонизма. И у него есть трактат о благе и ... . И оказывается то, о чём лектор говорил, до некоторой степени сохраняется, оказывается, что сам предмет — нечто странное, это единство, котоорое не допускает множественности, и если этот предмет и постигаем, то очень странным способом, и Плотин описывает его как экстасис, выход из себя. Это состояние, когда мироздание постепенно свёртывается. То есть, душа отворачивается от чувств в сторону ума, дальше она стягивается, и остаётся ум, дальше ум стягивается и схлопывается в точку. И в этом состоянии становится с благом едины. Это уже не познание, но иначе описать нельзя. Другой вопрос, что ниже: то, что позднее назовут материей, сфера небытия. И интересно, есть что-нибудь соответствующее? Оказывается, что сам предмет такой, что знанием это быть не может, знание — устойчивость, здесь же противоположный предмет. Интересно, что Плотин это описывает, как об этом можно рассуждать, но "незаконнорожденным образом". Оно такое не потому, что мы не можем об этом знать, это сам предмет такой, другое рассуждение будет ему неадекватно.