Философия математики, 01 лекция (от 18 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_02_18.ogg

Как будет происходить зачёт: ничего особо такого сложного не требуется, лектора будет интересовать в первую очередь то, что поняли на лекции, лектор будет пытьаться рассказывать о материале, который негде прочитать в одном месте, в одной книжке. Не потому что, это какой-то секрет, а потому, что такого текста просто нет. По каждой конкретной теме лектору нужно отслылать к своей литературе. Лектору будет важно, чтобы его слушали этот материал, и важно, чтобы не получалось ситуации, которая часто бывает: ходили человек 20, а на зачёт приходят человек 100. Чато бывает, что те, кто не ходил, берут записи тех, кто ходил, и считают что этого достаточно, но оказывается, что недостаточно, по той причине, что спецкурс гуманитарный, и чтобы их писать, нужен некий навык, у большинства его нет, и в итоге записи пишут так, что ими другой практически не может воспользоваться.

Когда в науке происходит некий слом, то ключевые фигуры, через которых идёт это изменение — люди широких интересов, и именно эта широта позволяет видеть ситуацию сверху, не быть к ней привязанной, увидит какие-то ходы, которые те, у кого узкое восприятие, не видят. Казалось бы, эти понятия в научном процессе...

Философия ставит вопрос, что есть метод, при этом, как заметили достаточно давно, при этом, ставя этот вопрос, или удивляясь, философ удивляется специфическим, философским образом. Его специфика в том, что философ удивляется не специфическим редким предметам, способность философа в том, что он удивляется привычным вещам, которые мы постоянно знаем, к которым привыкли. Классический пример — вопрос, который ставит блаженный Августин. Августин говорит: «Что такое время, пока меня не спрашивают, я знаю, что это такое, когда спрашивают, я не знаю». И так и есть, когда спрашивают, сколько времени, то это понятно, на этот вопрос можно ответить. Вопросы связанные с измерением времени, решаются. Августин же спрашивает, что такое время вообще. Это пример философствования, и оказывается, что Августин ставит вопрос в глобальном смысле, у которого нет жёстких границ, и на него однозначно ответить невозможно, ибо размыт контекст, и хоть ответить на него невозможно, что-то на него есть. Есть некий набор мыслей. Мы немного по-другому воспринимаем. Мы не приобрели опыт, но начали воспринимать иначе.

Теперь о математике. Философия смотрит на мир вокруг и задаёт наивные вещи, вопросы о вещах, которыми мы умеем пользоваться. Математика вызывала удивление, причём начала это делать почти сразу, как появилась. Стоит отметить, что математика появилась одновременно в философией, во времена Греции.

Математика и философия появляются практически одновременно, с 6 по 4 вв до н. э. Откуда такая уверенность? Здесь важную роль играет язык. Мы до сих пор употребляем греческие термины математика, философия, и термины эти появляются именно тогда. Это свидетельство того, что нечто особенное появилось как самостоятельный предмет. Кроме того, если мы приглядимся, что мы называем математикой в других культурах, оно во многом сориентировано на те слова, что вложили греки в этот период. В европейской науке это понятно. Можно возразить, как математика древнего востока: индийская, китайская... греческий там ни при чём. Дело в том, что мы смотрим на это глазами европейца и мы узнаём это от людей, которые смотрели через призму греческой математики, и этот эффект здесь присутствует, даже если мы обнаруживаем, что шумерская математика появилась раньше, мы её прочитываем через призму греческой. Это точка отсчёта. Было опознано нечто, которое позволяет изучать культуру в разное время.

В тот момент математика сделалась предметом интереса со стороны философии. Математики, глядя... первые темы будут связаны с греками, лектор постарается пробежать этот период как можно быстрее, но именно здесь задаются те образцы, на которые ориентируются, и про греков нам придётся некоторые вещи понять. И следующие темы: ... .

По крайней мере, будет подробный разговор. Уже здесь у философов было достаточно поводов, чтобы удивляться математике. Стоит отметить, что они удивляются и до сих пор. Чтобы как-то это понять, приведём примеры математического удивления философов. Что касается греческих удивлений, они связаны с вопросом об онтологическом статусе (в каком смысле существует то, с чем работает математика)

Греческая математика работала с числами, фигурами, но уже здесь возникает недоумение, в каком смылсе они существуют. Оказывается, как говорили греки, что началом является единица. Давайте зададим вопрос: единиц сколько — одна или много? Если она одна, то непонятно, как их можно складывать, что такое 1 + 1, или что такое складывать предмет сам с собой, а если их много, то чем они отличаются, чем первая единица отличается от второй в равенстве 1 = 1. Ответить на этот вопрос не так просто, тут надо подумать.

Хорошо, а как быть с геометрией: вот геометр решил доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника. Что он делает: он говорит, пусть ABC — треугольник, проведём прямую, параллельную AC, рассмотрим углы... и так далее. Что здесь занимает философа? О чём рассуждает геометр? О треугольнике. Он говорит о том, что нарисовал на доске? Нет, если доказал для одного, то он не доказал для другого. Геометр удивится, он же доказал для всякого. А что такое всякий?

Позднее стали удивляться и другим вещам. Например, речь об арифметическом утверждении, например, 7 + 5 = 12. О чём мы здесь говорим? О числах. Мы поняли, что числа — странный зверь, который не тождественнен физическим предметам. Понятно, что 7 это не 7 палочек на доске. Хорошо, это особый предмет, но это странный особый предмет, поскольку мы уже выяснили, что 5 + 7 = 12, мы можем предметы пересчитывать, кружки, палочки, и так далее... Но и никаким опытом нас не убедишь, что 5 + 7 не равно 12, если мы 5 и 7 груш сложим вместе и получим 13, то будем искать, откуда лишняя груша.

Тогда если числа особые, то почему мы ими считаем, а если ими считаем, то почему они особые? Если опыт с грушами воспроизводим, мы придумаем теорию об искривлении пространства, но 5 и 7 останется к 12. Вроде бы математика влияет на происходящее в мире, но мир на математику не влияет. Более того, математика научила рассуждать как-то странно. Образцом на многие века станет Начала Евклида. Оказалось, что как-то рассуждать математики странно умеют. Оказалось, что Евклид, написал начала, рассуждал о свойствах треугольника, и они с тех пор не изменились. А попробуйте найти другую область, где отличаются не только результаты, но и ход рассуждений столь устойчив.

В связи с этим возникает масса вопросов, возникает ощущение, что эти результы не зависят от Евклида, не зависят от нашего мира, что эти резудльтаты относятся к миру неизменному. Тогда появляется вопрос, а можно ли что-то новое придумать? Или математика ничего придумать не может? Или можно? Это тоже философов удивляет, они пытаются разобраться и не могут. Что это за странный предмет, с которым имеет дело математика. Начала Евклида вдохновляли многих, в Европе многие труды подражали Началам, таких трудов много. Большинство из тех, кто изучал историю философии, это этика Спинозы (?) Тем не менее, не смотря на всё внешнее сходство рассуждений Спинозы, ему не удалось придать своим теоремам столько же убедительности, какая была у Евклида. Не удаётся подражать в других областях математики, и создавать подобное. Или нам только так кажется?

Сейчас лектор навскидку привёл несколько банальных и простых вопросов, которые задаёт философ, глядя на математику.

На самом деле, если говорить ещё о каких-то проблемах, можно упомянуть ещё только одну. В самом начале обнаружили, что математика каким-то образом связана с проблемами бесконечности. Уже Аристотель должен был для математики сделать исключение, у него весь мир конечен, но для математики пришлось придумать исключение, потенциальную бесконечность, хоть мир конечен, он не мог запретить математику строить сколь угодно больше числа. То же самое: можно взять обычный отрезок и его делить, дихотомия. И так тоже не остановиться.

Математика, геометрия имеют серьёзное отношение к бесконечности. Например: мы на отрезке ставим эти самые точки. Спросим: сколько точек на отрезке? Конечно, хочется ответить бесконечно много, но тут ещё до Аристотеля, Зенон построил ряд рассуждений, что в этом очень легко запутаться, в связи с такими представлениями легко строить апории, вещи, в которых легко запутаться. Например: вот мы делим отрезок на части. В итоге этот процесс заканчивается когда-нибудь или нет? Если он заканчивается, и есть последний отрезок — точка, то если мы не дай бог скажем, что отрезок состоит из точек. Тут Зенон спросит, имеет ли точка протяжённость? Если скажем, что нет, не имеет, то как мы получаем отрезок конечной длины. Если скажем, что имеет длину, то тут Зинон скажет, что сколь маленькой длина не была, отрезок был бы бесконечной длины.

Далее: если поставим рядом два отрезка, то сколько точек? В два раза больше? Нет, столько же, можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Из этих вопросов и формируется философия. Например, природа математических объектов. В каком виде существуют числа и другие объекты? Или проблема о специфике математического доказательства, за счёт чего удаётся получать результаты значительно более устойчивые, чем в других областях. Или пробелма нового знания. Или проблема теоретической и прикладной математики. Или проблема непостижимой эффективности математики и естественных наук. За счёт чего удаётся использовать эти объекты, чтобы сказать что-то о мире? И так далее.

Мы немного поговорили о том, чем занимается философия.

Теперь немного по поводу периодов:

• Первый период — Древняя греция, и тут будет 4 темы
  • Возникновение математики, заодно выясним, что это слово означало. И попробуем выяснить, в чём специфика математики. Поговорим о том, чем она отличается от математики в культурах древнего Востока. И как греки смогли до такого додуматься. И здесь тоже есть разные размышления, разные взгляды. Далее нас эти размышления приведут к странному сообществу, к пифагорейцам, и есть серьёзные подозрения полагать, что то, что называется математике, первоначально оформилось у них. Почему пифагорейцы, почему им эта штука понадобилась.
  • Два классических образца философии математики: Платона и Аристотела. А что, после Аристотеля ничего не происходило? Что касается философии математики, и тексты, которые будут более поздние, они будут использоваться в качестве комментариев к этим трудам. Похоже, принципиально за то, что было ими предложено, не пошло.
• Средние века и эпоха Возрождения. Здесь будет интересен общий контекст. Принципиально новых подходов мы не найдём, но здесь будет очень интересен контекст, который будет показывать, как воспринимаются, в частности, связанные с христианской культурой, и некоторые явления, связанные с эпохой Возрождения. Это подготовит мостик к Новому Времени.
• Идеи моделис универсалис и философия Нового Времени. Это Декарт, Лейбниц. Более того, Декарт, Лейбниц, они совешенно особым образом видят место математики
• Философия математики Канта. Его построения — это классика. Они создают некий образец, на который будут ориентироваться.
• 19 век. Некоторый обхор. Империзм, ..., и конвенциализм 19 века. Будем смотреть, что произошло с математикой в 19 веке, и что будет происходить с рефлексией. Математика изменяется, и, опять же, релексия, философская рефлексия, тоже меняется. Здесь будут спорить о том, что философия математики Канта несостоятельна. К концу 19 века они получили статус, и будут смотреть, насколько его взгляд был опровергнут. Здесь же поговорим об эмпирической традиции. Она появилась не в 19 веке, она формировалась с начала Нового времени, но посмотреть удобнее именно здесь.
• Дальше обратимся к ситуации рубежа 19 и 20 века. Тема: парадоксы теории множеств. На первый вариант выходят два момента: оказывается, что важными для осмысления оказываются теория множеств и развившаяся математическая логика. И оказывается, что на этой почве удаётся построить парадоксы теории множеств, и в связи с этим возникает очень активная полемика, в которую включаются многие математики. Формируются три программы: логицизм, ..., формализм. Это то, что определяет картину первых десятилетий 20 века.
• По 20 веку планируется три темы: релятивизм. Здесь попытаемся посмотреть реакцию, которая возникла всязи с тема, что все три программы зашли в тупик. И опять же реакцией будет представление, что если эти программы пытались решить вопрос мат. раз и навсегда, то теперь раз и навсегда не бывает. Тут две фигуры: ... и Куайн.
• Структурализм философии математики. Эта тема будет связана с деятельностью группы ... .
• Последняя тема: реализм, рационализм, эмпиризм в философии математики второй половины 20 века. Здесь будут рассматриваться подходы, которые отражают тенденции. С одной стороны, принятие релятивистских тенденций, с другой стороны, попытка отстоять ряд ориентиров: единство математики, и так далее. Наряду с тем, ... .

Такой план.

В следующий раз начнём с древних греков. Введение закончено.