Философия математики, 10 лекция (от 21 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

В прошлый раз мы обсуждали взгляд на матем. Д. и Л. и вообще гвоорили о фил. мат. нового времени, т. .е . 17---18 вв, и сейчас хрошо бы перейти к новому крупному философу, котрый сказал нечто важное о мат. Речь идёт о Канте. Но прежде чем перходить к Канту, важно сказать некоторые вещи о Д. и Л., которые ранее не гворились и к-рые нужны для правильного понимания К.

Дело в том, что с Д. связывают то открытие, которое сам Д. называл "когито" --- "я мыслю". Но с тем же успехом можно исп. слово "сознание". Можно говорить, что Дек. откр. --- сознание. Здесь открытие в том, что Д. обнаруж. другой способ философ., другую отпр. точку фил. рассужд отличную от отпр. точки, которая была характерна ранее. Понятно, что у того, что делает Д., есть своя предыстория. Кнечно, когда мы говорим об откр. Д., которое форм. чаще всего в виде одной фрази Cogito ergo sum --- "Мыслю, следовательно, сущ-вую". Близкие пассажи можно найти у блаж. Августина, и Д. на него опирается, но у Август это не центр., а Д. этото момент обнаруж., причём не просто так, а как исх. точку опнимания процесса позн. Правда, можно заметить, что Д. всех выводов, которые модно сделать, Д. не делает. Д. фиксирует этот факт, но дальше пойдёт на попятную и возвр. на позиции традиц. философствования. И она начинает существовать и приносить свои плоды. В общем-то, позиция К. задаётся линие, которая начинается с откр. Д.

Д. говорит о том, что с нрашим сощзн. несть опр. проблема, оно предст. собой смесь истинного и ложного, и мы должны препрмотреть и постр. заново обр. мышл., чтобы не допустить ложь. Начинает он это дельать любопытным обр.: в кач. отпр. точки он избирает любопытный момент. В своём... он формулир. приницип достовернотси. Д. формул. этот принцип дост. след образом: "признавать в кач-ве дост. только то, что предст. моему уму настолько ясно и отчётливо, что не вызывает сомнения". Из этго след. довольно любопытный проэкт: подвергнуть сомнению всё, что может подвергнуть сомн., и не выяснить, нет ли чего, что нельзя, и если такое найдётся, то это что-то и будет положено в качестве краегуольного камня. И в трактате размышл. о фил. Д. опис. подобное мероприятие. Действ., Д. выяснряет постепенно, что что ни возьми, в этом можно усомниться. В том чяисле и собственные ощущения. Хорошо, говорит Д., есть ли такие моменты, которые не зависят от того, восне или на яву? Например, 2+2=4. Предп., есть такие вещи. Но допустим, есть злобный демон, который меня морочит, и кадждый раз когда я складываю 2+2 то он говорит, что это 4, ана самом деле 5. Но может ли быть так, что этот демон не сможет действ.? Да, если меня нет, как меня мыслящегося. Соответственно, во что Д. упёрся. В основу принципа дост.. Мы можем сомневаться не далее, чем...

Что здесь любопытно: Д. явным образом выявил некую любопытнцю позицию, которая состоит вот в чём: "Я мыслю. Но я в конце концов могу ничего не знать, не знать, что я Д., что я живу в такое-то время, я такого-то пола, и так далее; я ничего этого не знаю, что всё эо не так; но я знаю, что я считаю себя Д., я воспр. свою руку, и т.д. Пока я утв. только это, я не могу утв. Может у меня и нет никакой руки, но пока я нахожусь в сфере истины." Здесь есть некий проект, который был осущ. в итоге ..., и он будет наз. это фенологич. редукцией. Это сфера феноменологич. иссл.

Надо сказать, что сам декарт не очень посл. После того, как но обнаруж. некое мыслящ. Я. Д. непоследователен в том, что как только он его получил, он пытется постр. новые утв., запрячь это в стару. позицию. Что делает Д.: пытается доказать что Я не Бог. ... В итоге Д. отказ от утв, что мы отказ. утв. от того, что наход за границ. воспр (?) На самом деле, мы ничего не теряем, если ...

ПосмотриМ, что происх. С этой мыслью дальше? Что у Л.? Л. строит метафизику монад. Мы увидим удив. вещь: у него сущ. беск. много мыслящ. Я. Он понимает, что сферу созн. должны дополнить сферой бессозн. И если у Д. единст., то у Л. этих Я беск. много. Но все они герметичны. И когда Л. доказ. сущ. Бога, он делает одну тонкую ошибку. Л. изнач. постулир., что мирова беск. много, и каждая монада --- герметич. мир, в к-рый не может ничего проникнуть. Но почему нельзя огранич. только одним миром с одним центром. Л. делает это из каких-от своих посылок, в книге постулир. ... Хорошо, монад беск много, но как их сопрячь между собой? Не будет ли это то же самое, что как если бы их нет. Л. выходит из этой ситуации за счёт того, что у него есть Бог, некая супермонада, не просто монада, она создаёт все эти монады вместе со всем их содержанием. Но что значит творит? Бог Л. продумывает всё, у него всё подчинено точному учёту. В опр. смысле эти миры-созн. погружены в некоге сверхсозн. Бога. Оказывается, что эти монады абс. прозрачны для Б., они явл. частью его. А как же творение, независимость? Позже здесь скажут, что етсть несимм. отн. между монадами и созн. Бога: для Бога каждая монада прозрачна, для монады созн. Бога трансцендентно. Позже, в 19 веке, это назовут пан... . Здесь очень важно, что ... Комментарий к Л.: лектору предст., что в какую-то такую картинку всё сходится. Мы оказ. в позиции, когда есть сверхсозн., всё остальное --- его часть.

Что получ., когда идём дальше? Что делает Кант? Кант нач. своё главное произв., в котором он и говорит о матем, а именно критику чистого разума. Он ставит один любопытный вопрос: каким образом в разных областях позн. разн. результаты. С одной стороны есть матем. и естествознание. С другой стороны, есть метафизика, где никак не могут договориться, как закл. фундамент. Но. Для чего лектор вспоминает эту ммысль: для того, чтобы сформулир главную идею, сам К. называет это "коперниканским переворотом в философ": "что вокруг чего вращается? Субъект вокруг объекта или наоборот? Так же до Копер. предполагали, что солнце вокруг хемли, а Коперн. пришёл и скзаал, что наоборот. Аналогично Раньше считальнос, что объект незыблем и субъект должн подстр .под объект, но надо ... предп. природе те соотн., которые нам нравятся"

... Действ, когда первич точкой отсч1та рассм. то, как я мыслю, а не наоборот. Вспомним античность: для них осн. отпр. точкой явл. устройство космоса. ... Как опис. эту картину сам К.: он делает следующ: для него это разделение уже произошло. Ведь, факт., Д. вводит некий дуализм: есть некий субъект, Я, есть нечто, что он познаёт. причём имеет дело не с самим предметом, а нечтом другим, со своим предст. о предмете. Есть человек, есть предмет, чел. набл. предмет, у чел. обр. образ, и тогда его уже можно набл. Есть вещи, есть сфера явл, это само по себе. Два уровня рассм. К. И этот метауровень скорее философский.

Ненадолго сотавим коллизию с двумя парадигмами, лектор иногда это будет называть парадигмой античности и ср. веком (анотологич парадигмы), когда постулир. устр. мира; а подход Д. --- гносиологич. праадигмой.

А теперь к тому, где у К. находится матем. Для этого надо вернуться к началу Кртики ... Чистого Разума. Введние посвящёно классиф. суждений. К. в этом введении все сужд. делит с одной строоны на априорные и апостериорные, с другой стороны на аналитич. и синтетич. Эти два деления с т. з. Канта независимы, рассм. их по отдельности.

Априори и апостериори. Понимаюткак предш, опыту и послед. опыту. Как это можно предположить реально: человик пилил ветку, на которой сидел, и упал. Что он пилил, если априори известно, что он упадёт? Но если попытаемся узнать, откуда это, то мы будем апеллировать к опыту, если не своему, то предков. Вот К. приводит пример с подкапыванием фундамента дома, но К. сразу говорит, что понятие "априорный" будет исп. в более жёстком смысле --- суждение, предш. всякому возм. опыту. Тут мы можем удивиться, и первый вопрос --- а откуда мы заем, что такое есть? И здесь мы хотим спросить у К., есть ли такие суждения, и почему они явл такими. И К. предл. критерий, который позв. отличать апр. от апост. --- необходимость и строгая всеобщность. То есть, след. утв. мыслится как необходимое и строго всеобщее. При этом может ли К. привести какие-либо приаеры? Может, самы яркие примеры --- примеры матем. суждений. В качестве таких сужд . приводит простые арифм., геом и иные суждения. Хорошо, почему К. полагает, что утв. 7+5=12 явл. необходимым и строог всеобщим? Мы в принципе не можем предст. ситуацию, когда это изм., но почему К. полагает, что ... Предп., что мы с ним согл., что в нашей сист. есть предп., которые опытом опровергнуты быть не могут. След. вопрос --- почему мы не могли прийти к этому из опыта? Потому, что не могли. Опыт --- констатация. Мы можем утв., что пересчитывали и получали это какое-то кол-во раз, но опыт не может дать необходимости и констатции. И К. в этом убеждён.

Следовательно, эта наша убеждённость берётся не из опыта как такого. И тогда К. говорит следующее: что мы можем не уметь считать, но если мы уж нацучились, то 7+5=12. То есть, учимся мы из опыта, но не всё из него получается. Тогда откуда это взялось? Это рассм. позже. Пока отметим, что есть такие утв., которые опытом получены быть не могут, и у них должен быть свой источник.

Дальше. К. разл. аналит. и синт. сужд. Надо понимать, что К. аппеллирует к традиционной логике мысль о том, что всякое сужд. имеет субъектно-предикатную фуому: С есть П или С не есть П. Кроме того, сужд. могут ддополн кванторами, быть общими и частными. Но для К.-ской это разл. несущественно. Нас будет интерес. осн. стурктура: С есть П. Почему так должжно получаться? Если посмотрим и обобщим, то увидим, что это так. ... В резуьтате, пришли к тому, что арист. система недост гибкая, придут к многоместным предикатам и так далее. Но К. исп. классич. сужд.: аналит --- предикат ..., синт --- предикат содержится в субъекте. ...

Пример: во всяком равноб. треуг есть две равных стороны. Во всяком равноб. треуг. есть два равных угла. Первое утв. аналит., второе --- синт. Субъект --- равнобедр. треуг. Что такое равноб. треуг. --- треуг, содержит два равных угла.

... И К. наст. на том, что матем. сужд. (лектор тут сужает тему, так как К. рассм. все сужд. вообще) по большей чатси явл. синтетическими. И в этом. отн. он не согл. с Л. Л. как раз полагал, что все матем. сужд. на самом деле явл.

Елси у нас есть некий рез-т, то у нас уже есть он, непоколеб. Опытом. А если мы хотем и ээто учесть, то нам надо учесть раззличие между апр. и апост. понятиями.

Хорошо. Будем считать, что аналитич. утв. априорны. Хорошо. С ними особых проблем нет. Остаются две осн., интерес. К. группы: синт.. априор. и син. апостер. Синт. апост. его отже не олнуют. У нас есть такая штука, как опыт, и мы можем про те предметы, которые в опыте, что-то такое узнавать. Это лишь констатация.

И интересуют К. последние утв. Это утв. матем., ... . Они сообщ. нам нечто новое. У нас есть возм. присчоед. некие новые свдеениея, св-ва. И К. полагает, что синтез предп. некое созерцание, некую данность, нам долен быть дан предм., обл. этис св-вом. Но сужд. матем явл. априорными, но мы знаем только один сопосб получ. знаний -- опыт, но он не может давать необх. и всеобщ. Соотв., должен происх. некий синтез. Это и есть главный трансцедент. вопрос -- как возм. синт. априор. сужд.. Конкр --- каквозм. синт. априор. сужд. в матем.

Ответом явл. след. раздел, наз. транцедентальная эстетика. Аэстезис --- по гр --- чувств. воспр.. Соотв, эстетика --- учение о чувств. воспр. Соотв., этот раздел посвящ. тому, как происх. чувств. воспр. Здесь К. служит своё учение о пронстр. и вре., и оно и явл. ответом на этот вопрос. Обратим внимание, где нам искать этот синтез: вне сферы всякого возм. опыта? Невозм, поск. наше дост. познание отн. искл. к явлениям. Соотв., он обнаружит этот странный синтез изнутри самой сыеры опыта. Что же это за странная обл., которую К. обнаруж. внутри сфера опыта? Эту обл. К. наз. сфера трансцедентального. К. введёт строгое различие тех двух терминов, которы едо К. не отл. Трансцедентное и транденетальное. Трансцедентно --- проитвоп. имманентно (есть некая обл., то, что ей имманентно --- внутри, трансцедентно --- вне). Если мы возьмём сферу опыта, то имианентно ей будет опыт, трансцендентно --- вещи сами по себе. Что же касается трансцедентально: опыт субъективен. Предп, на меня произвед. некое действие, в рез-те возн. это явл. За то, какое это явл, отв. не одна сторона, а две: ещё и то, как устр. мы сами. Соотв., как полагает Кант, во всяком опыте, во всяком явл., с которым мы имеем дело, есть два уровня --- слой, который связан с тем, как подейств, и слой, связанный с тем, как мы это восп. Соотв., сфера трансцедентального --- то, как устр. аппарат познания. Но почему это не трансцедентно? Мы не можем сказать, что оно имманентно нашему опыту --- мы не можем изучать аппарат познания, с другой стороны, нельзя называть его трансц, потому что он нам дан. Как тогда мы его ощущ? он обнаруж. себя при действии, мы его ощущаем. Рассм. разум как коробку с инстр. --- если бы разум был иммантнтен, то эту коорбку мы бы могли изучать, если бы она была трансц., то она была. Но мы пост. имеем дело с тем, что изг. этими инстр, и можем изучать, то, из чего это было сделано. Изучая, ... .

Так вот, К. анализирует, произв. первонач. различ, выявляет неск. первонач. уровней: выявл. уровень чувтсвенности, и отл. от уровня рассудна. Кроме того, он отличает регулятивную ... . Важно, что он выделяет сферу чувств. Она отв. за то как мы воспр. В основе её тоже лежат опр. инструменты. К. называет её опр. формой чуств. Форма--- аппарат, материя --- то, что оформ. Есть всего две априор. форму чувтсв --- пр-во и время. (про различие внеш. и внутр. опыта) И говрит, что именно они делают возим. априор. синтезы, которые позволяют делать мат. суждения. И тогда понятно, откуда берётся необх. и строгая всеобщность. Сужд. мат. относятся именно к тому, как действ наш позн. аппарат, именно поэтому они необх. и всеобщи.