Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики

Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности

Пункт 3. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсена)

δ²u/δx² + f(x, t) (1)

• u(0, t) = μ₁(t); u(1, t) = μ₂(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
• u(x, 0) = u₀(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
• y_{x_x, i}^m = (y_{i + 1}^m − 2y_i^m + y_{i − 1}^m)
• (y_i^{n + 1} − y_iⁿ)/τ = 0,5(y_{x_x, i}^{n + 1} + y_{x_x, i}ⁿ) + f(x_i, t_{т + 1/2}), (x_i, t_j) ∈ ω_τh (4)
• y₀^{n + 1} = μ₁(t_{n + 1}); y_N^{n + 1} = μ₂(t_{n + 1}), t_{n + 1} ∈ ω__τ (5)
• y_i⁰ = u₀(x_i), x_i ∈ ω__h (6)

Шаблон (типа ящик)

Эта схема неявная. Решается она так же, как и чисто неявная схема — методом прогонки.

Сходимость будем рассматривать среднеквадратичную, а не в С, ибо в С очень сложно. Будем использовать новый аппарат. Ради чего напрягаться? Оказывается, эта схема имеет второй порядок и по тау, и по h, то есть лучше. Сегодня освоим аппарат Фурье метода оценок, и его тоже можно здесь применить. Можно строить функцию Грина, можно энергетическими неравенствами. Способов очень много методов оценок.

Погрешность

z_iⁿ = y_iⁿ − u_iⁿ

• (z_i^{n + 1} − z_iⁿ)/τ = 0,5(z_{x_x, i}^{n + 1} + z_{x_x, i}ⁿ) + ψ_iⁿ

Здесь принципиально, как брать, и это принципиально, иначе не получим второй порядок.

• z₀^{n + 1} = 0, z_N^{n + 1} = 0, z_i⁰ = 0
• ψ_iⁿ = (u_{x_x}^{n + 1} + u_{x_x}ⁿ) + f(x_i, t_{n + 1/2}) − (u_i^{n + 1} − u_iⁿ)/τ (8)

Задача. Доказать, что ψ_iⁿ = O(τ² + h²).

Задача Штурма-Лиувилля

• δ²u/δx² + λu(x) = 0, 0 < x < 1 (9)
• u(0) = u(1) = 0, u(x) !== 0
• λ — собственное значение, u(x) — собственная функция
• &lambda_k = (πk)², k = 1, 2, …
• 0 < &lambda₁ < λ₂ < λ_k < …
• u_k(x) = sqrt(2)sin πkx
• {u_k(x)}₁^∞ — ортонормированный базис
• f(x) ∈ L₂(0, 1)
• интеграл от 0 до 1 f²(x) dx < infin;,

...

||f||_L2² = ∑_{k = 1}^∞ c_k² — уравнение Парсеваля Разностная задача Штурма-Лиувилля

• y_{i + 1} − 2y_i + y_{0i − 1} + λh²y_i = 0
• y_{i + 1} + y_{i − 1} − (2 − λh²)y_i = 0
• y_i = sin αx_i ≠ 0
• y_{i + 1} = sin α(x_i + h) ≠ 0
• y_{i − 1} = sin α(x_i − h) ≠ 0
• y_{i + 1} + y_{i − 1} = sin (αx_i + αh) + sin (αx_i − αh) = 2sin αx_i cos αx
• 2cos αh sin αx_i − (2 − λh²)y_i = 0
• 2cos αh − 2 + λh² = 0
• λ = 2(1 − cos αh)/h² = 4/h²sin(αh/2)
• λ_k = 4/h² sin² πkh/2, k = 1…N − 1
• y_k(x_i) = sqrt(2) πkx_i, x_i ∈ ω_h, k = 1…N − 1

равенство Парсеваля: dim H_{N − 1} = N − 1, y₀ = y_n = 0

f, g ∈ H_{N − 1}, (f, g) = &sum ;_{i = 1}^{N − 1} f_ig_ih

• ||f||_L2(ωn) = ||f||_L2 = (f, f)^1/2 = ∑_{i = 1}^{N − 1}f_i²h

• (y_k(x_i) y_l(x_i)) = δ_{k, l}
• f(x_i) = ∑_{k = 1}^{N − 1} c_ky_k(x_i)

Тождественно обозначим: y_k(x_i0 = μ_k(x_i)

• ||zⁿ||_L2(ωn) → 0, &tau, h → r
• z_iⁿ = ∑_{k = 1}^{N − 1} c_k(t_n)μ^k(x_i)
• ψ_iⁿ = ∑_{k = 1}^{N − 1} ψ^k(t_n)μ^k(x_i)
• ∑_{k = 1}^{N − 1} (c_k(t_{n + 1}) − c_k(t_n))/τ × μ^k(x_i) = 0,5 ∑_{k = 1}^{N − 1}(c_k(t_{n + 1}) + c_k(t_n))μ_{x_x, i}^k + ∑_{k = 1}^{N − 1} ψ^k(t_n)μ^k(x_i)
• ∑_{k = 1}^{N − 1} ((c_k(t_{n + 1}) − c_k(t_n))/τ + 0,5λ_k(c_k(t_{n + 1}) + c_k(t_n)))μ^k(x_i) = ∑_{k = 1}^{N − 1} ψ^k(t_n)μ^k(x_i)
• (c_k(t_{n + 1}) − c_k(t_n))/τ + 0,5λ_k(c_k(t_{n + 1}) + c_k(t_n)) = ψ^k(t_n)
• c_k(t_{n + 1}) − c_k(t_n) + 0,5τλ_k(c_k(t_{n + 1}) + c_k(t_n)) = τψ^k(t_n)
• (1 + 0,5τλ)c_k(t_{n + 1}) &minus (1 − 0,5τλ)c_k(t_n) = τψ^k(t_n)
• c_k(t_{n + 1}) = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ) × c_k(t_n) + τ/(1 + 0,5τλ)ψ^k(t_n)
• q_k = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ)
• |q_k| < 1
• z_i^{n + 1} = ∑_{k = 1}^{N − 1}(q_kc_k(t_n) + τ/(1 + 0,5τλ)ψ^k(t_n))μ^k(x_i) = ∑_{k = 1}^{N − 1}q_kc_k(t_n)μ^k(x_i) + ∑_{k = 1}^{N − 1}τ/(1 + 0,5τλ)ψ^k(t_n)μ^k(x_i)
• v_iⁿ = ∑_{k = 1}^{N − 1}q_kc_k(t_n)μ^k(x_i)
• ω_iⁿ = ∑_{k = 1}^{N − 1}τ/(1 + 0,5τλ)ψ^k(t_n)μ^k(x_i)
• z_i^{n + 1} = v_iⁿ + ω_iⁿ
• ||z^{n + 1}||_L2(ωn) = ||vⁿ||_L2(ωn) + ||ωⁿ||_L2(ωn)
• ||vⁿ||_L2(ωn) = ∑_{k = 1}^{N − 1}q_k²c_k²(t_n) ≤ ∑_{k = 1}^{N − 1}c_k²(t_n) = ||zⁿ||_L2(ωn)
• ||ωⁿ||_L2(ωn) ≤ τ²||ψⁿ||_L2(ωn)
• ||z^{n + 1}||_L2(ωn) ≤ ||zⁿ||_L2(ωn) + τ||ψⁿ||_L2(ωn)

Получили ту же самую формулу, что и в прошлый раз, следовательно, её можно сделать рекуррентной.

Мы не использовали связь шагов, поэтому сходимость абсолютная.

• ||z^{n + 1}||_L2(ωn) ≤ ||z⁰|| { = 0 } + ∑_{j = 0}ⁿ τ||ψⁿ||_L2(ωn)
• ψ_iⁿ = O(τ² + h²)
• ∃ M ≥ 0 не зависит от τ и h
• ||ψⁿ||_L2(ωn) ≤ M(τ² + h²)
• ||z^{n + 1}||_L2(ωn) ≤ M(τ² + h²)∑_{j = 0}ⁿ τ = Mt_n(τ² + h²) ≤ MT(τ² + h²)
• ||z^{n + 1}||_L2(ωn) ≤ M₁(τ² + h²), M₁ не зависит от τ и h

Оценка устойчивости

Если бы мы рассматривал нашу оценку и при нулевых краевых условиях, то мы бы получили совершенно аналогично:

• ||y^{n + 1}||_L2(ωn) ≤ ||u₀||_L2(ωn) + ∑_{j = 0}ⁿ τ||f(t)||_L2(ωn) — априорная оценка, означающая устойчивость

Симметричная схема обладает более высоким порядком точности, но мы её доказали пока только для среднеквадратичной схемы.