Методы Оптимизации, Теормин

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 15:17, 7 июня 2009; StepLg (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение в теорию сложности

Введение в теорию сложности

Индивидуальная и массовая задачи, кодировка задачи, алгоритм решения массовой задачи, временная сложность алгоритма.

Массовая задача $Π$ :

список свободных параметров;
формулировка свойств, которым должно удовлетворять решение задачи.

$Π$ есть множество индивидуальных задач $I \in \Pi$ . Индивидуальная задача получается, если всем параметрам присвоить конкретные значения.

Пусть E - конечный алфавит, а E* - множество слов в этом алфавите. Отображение e: $P \rightarrow E*$ называется кодировкой задачи П.

Алгоритм $A$ решает массовую задачу $Π$ , если для любой индивидуальной задачи $I \in \Pi$ :

$A$ применим к $I$ , то есть останавливается за конечное число шагов
$A$ дает решение $I$

Кодировка задачи P -- такое отобраение $e: P \rightarrow \Sigma^*$ , обладающее следующими свойствами:

Возможность однозначно декодировать, то есть у двух различных ИЗ не может быть одинаковых кодировок.
$e, e - 1$ -- полиномиально вычислимы
Кодировка не избыточна, то есть для любой другой кодировки $e 1$ , удовлетворяющей 1 и 2 условиям справедливо:

$\exists p(.): \forall I \in P |e(I)| < p(e_{1}(I))$

Язык массовой задачи -- это множество правильных слов, то есть слов, соответствующих ИЗ, имеющим положительный ответ(подразумевается задача распознавания): $L(\Pi, e) = e(Y(\Pi)) = \{s \in \Sigma^*| s = e(I), I \in Y(\Pi)\}$

Язык алгоритма -- множество слов, принимаемых $A$ , то есть таких, на которых алгоритм останавливается в состоянии $q Y$ , что соответсвует "да": $L(A) = \{\sigma \in \Sigma^* | A(\sigma) = q_Y\}$

Алгоритм $A$ решает массовую задачу $Π$ , с кодировкой $e$ , если $L (e,Π) = L (A)$

$t A (s)$ -- число шагов алгоритма $A$ для входа $s \in \Sigma^*$ .

Временная сложность $T_{A}(n) = max \{t_{A}(s)\}, s \in \Sigma^*, |s| < n$ .

Задачи распознавания свойств. Классы P и NP.

Задача распознавания свойств -- массовая задача, предполагающая ответ "да" или "нет", в качестве своего решения.

$D (Π)$ -- множество всех возможных значений параметров массовой задачи.
$Y (Π)$ -- множество всех индивидуальных задач, ответом на которые является "да".

Класс полиномиально разрешимых задач (P) -- это такие задачи, временной сложность алгоритма решения которых ограниченна полиномом:

$\exists A$ такой, что $A$ решает массовую задачу $Π$ с кодировкой $e$
$\exists p(\cdot)$ -- полином такой, что $T_A(n) < p(n)~~,~\forall n \in Z_{+}$

Примеры неполиномиальных задач:

алгоритмически неразрешимые задачи: такая, что A не применим к I, например,
- 10-я проблема Гильберта: по данному многочлену $g$ с целыми коэффициентами выяснить, имеет ли уравнение $g = 0$ целочисленное решение
задачи, для которых длина записи выхода превышает любой наперед заданный полином от длины входа
- найти все маршруты в задаче коммивояжёра

Класс недетерменированно полиномиальных задач (NP) -- это такие задачи, для которых существует алгоритм решения на недерменированной машине Тьюринга:

$\exists \hat{A}$ для НДМТ такой, что $\hat{A}$ решает массовую задачу $Π$ с кодировкой $e$
$\exists p(\cdot)$ -- полином такой, что $\hat{T}_{\hat{A}}(n) < p(n)~~,~\forall n \in Z_{+}$

Теорема об экспоненциальной временной оценке для задач из класса NP.

Для любой $\Pi \in NP$ существует ДМТ $A$ , решающая ее с не более чем экспоненциальной временной сложностью: $T_A(n) \leqslant 2^{p(n)}$ .

Класс co-NP. Пример задачи, допускающей хорошую характеризацию. Доказательство утверждения о взаимоотношении классов NPC и co-NP.

Дополнительная задача $\overline\Pi$ к массовой задаче $Π$ -- задача, получаемая из $Π$ путем введения альтернативного вопроса. То есть если в $Π$ спрашиваем "верно ли $x$ ", то в $\overline\Pi$ спрашиваем "верно ли, что $\neg x$ "