ГОС

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Ряды)
(→Ряды)
Строка 10: Строка 10:
== Ряды ==
== Ряды ==
 +
=== Гармонический ряд ===
Доказать расходимость гармонического ряда:
Доказать расходимость гармонического ряда:
-
<math>\sum_{n=0}^\infty {1}{n}</math>
+
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}</math>
Покажем по Критерию Коши:
Покажем по Критерию Коши:
Строка 20: Строка 21:
Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.
Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.
 +
 +
=== Знакопеременные ряды ===
 +
 +
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math>
 +
 +
Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если <math>a_n = (-1)^nb_n, a_n >= 0</math> и <math>b_n</math> монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера <math>n_0</math>, то ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> сходится
 +
 +
Последовательность <math>\frac{1}{n}</math> монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math> сходится.
 +
 +
Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.
== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ==
== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ==

Версия 10:56, 4 июня 2010

Содержание

Интегралы

\int tg^2(x) dx = \int (\frac{1}{cos^2(x)} - 1) dx = tg(x) - x + C

\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = -\int (sin^2(x)) d(sinx) + \int 1 d(sin(x)) = -\frac{sin^3(x)}{3} + sin(x) + C

\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{6} \int (3x + 1)^2d(3x + 1)^2 = \frac{1}{6} \frac{(3x + 1)^4}{2}

\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C

Ряды

Гармонический ряд

Доказать расходимость гармонического ряда: \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}

Покажем по Критерию Коши:

|S_{2n} - S_{n}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > n*\frac{1}{2n} > \frac{1}{2}

Не выполняется, если взять \varepsilon = \frac{1}{4}

Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.

Знакопеременные ряды

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если an = ( − 1)nbn,an > = 0 и bn монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера n0, то ряд \sum_{n=0}^\infty a_n сходится

Последовательность \frac{1}{n} монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n} сходится.

Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

y''' + 2y''' − y' − 2y = 0 (1)

Решение этого уравнения ищется в виде y = eλt

Подставляем этот y в уравнение (1), сокращаем на eλt. Получаем характеристическое уравнение:

λ3 + 2 * λ2 − λ − 2 = 0

Находим корни этого уравнения: λ = 1,λ = 2,λ = − 1

y1 = et,

y2 = e2t,

y3 = e − t


Решение уравнения (1) -- это линейная комбинация yi,i = 1,2,3:

y = C1y1 + C2y2 + C3y3

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%93%D0%9E%D0%A1
Личные инструменты
Разделы