МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
'''Решение:'''
'''Решение:'''
-
2. Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Насложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.
+
Рассмотрим следующую задачу: <math>p=5</math>, <math>x_1=(1,1)</math>, <math>x_2=(1,2)</math>, <math>x_3=(3,2)</math>, <math>x_4=(4,1)</math>, <math>x_5=(6,4)</math>.
 +
 
 +
Находим<math> \hat{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^px_i=(3,2)</math>.
 +
 
 +
Находим <math>
 +
S=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p(x_i-\hat{x})^T(x_i-\hat{x})=
 +
\frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 && 7 \\ 7 && 6 \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 
 +
Решаем <math>|S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}</math>
 +
 
 +
Находим собственный вектор, соответствующий <math>\lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}</math>, решая <math>(S-\lambda_1I)\hat{d}=0</math>. Получаем <math>\hat{d}=(0.9085, 0.4179)</math> - собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.
 +
 
 +
Подробные вычисления не приведены. Можете сами повторить и сверить результаты. Однако сильно не надейтесь найти ошибку, решение проверено в MATLAB.
 +
 
 +
 
 +
2. Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.
'''Решение:'''
'''Решение:'''
Строка 27: Строка 43:
<math>k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)</math>
<math>k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)</math>
-
Подставляем значения для <math>x_i</math> и <math>t_i</math>, получаем <math>k</math>, затем <math>b</math>. Другой вариант - посчитать напрямую <math>(k,b)=(X^TX)^{-1}X^TY</math>, где <math>X</math> - матрица, первый столбец которой составлен из <math>x_i</math>, второй - из единиц, а <math>Y</math> - столбец из <math>t_i</math>.
+
Подставляем значения для <math>x_i</math> и <math>t_i</math>, получаем <math>k</math>, затем <math>b</math>. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.
 +
 
 +
Еще один вариант - посчитать напрямую <math>(k,b)=(X^TX)^{-1}X^TY</math>, где <math>X</math> - матрица, первый столбец которой составлен из <math>x_i</math>, второй - из единиц, а <math>Y</math> - столбец из <math>t_i</math>.

Версия 23:15, 25 мая 2009

За нерешение данных задач оценка снижается на балл.

1. Даны р точек в двухмерном пространстве (буду прямо их ручкой у вас на листочке задавать). Найти методом главных компонент первую главную компоненту. Так что вспоминайте как матрицу 2х2 к главным осям приводить и ковариации считать.

Решение:

Рассмотрим следующую задачу: p = 5, x1 = (1,1), x2 = (1,2), x3 = (3,2), x4 = (4,1), x5 = (6,4).

Находим \hat{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^px_i=(3,2).

Находим S=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p(x_i-\hat{x})^T(x_i-\hat{x})= \frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 && 7 \\ 7 && 6 \end{pmatrix}

Решаем |S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}

Находим собственный вектор, соответствующий \lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}, решая (S-\lambda_1I)\hat{d}=0. Получаем \hat{d}=(0.9085, 0.4179) - собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.

Подробные вычисления не приведены. Можете сами повторить и сверить результаты. Однако сильно не надейтесь найти ошибку, решение проверено в MATLAB.


2. Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.

Решение:


3. Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.

Решение:


4. Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида \hat{t}=kx+b, т.е. найти коэффициенты k и b.

Решение:

E(T,X,k,b)=\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)^2

\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial k}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-x_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)x_i=0

\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial b}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-1)=0 \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i)=b

k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)

Подставляем значения для xi и ti, получаем k, затем b. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.

Еще один вариант - посчитать напрямую (k,b) = (XTX) − 1XTY, где X - матрица, первый столбец которой составлен из xi, второй - из единиц, а Y - столбец из ti.

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9C%D0%9E%D0%A2%D0%9F%2C_%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D1%8D%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5
Личные инструменты
Разделы