Численные Методы, 06 лекция (от 05 марта)
Материал из eSyr's wiki.
(Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») |
(Отмена правки № 1463 участника 87.118.118.167 (обсуждение)) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | == | + | [[Численные Методы, 05 лекция (от 27 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Следующая лекция]] |
- | + | ||
- | + | = Глава 1 = | |
- | + | ||
+ | == Параграф 8. Исследование сходимости ПТИМ (продолжение) == | ||
+ | |||
+ | Решаем систему (1), (2): | ||
+ | * Ax = f (1) | ||
+ | * |A| ≠ 0, A ∈ ℝ<sup>m × m</sup> | ||
+ | * A = R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>, | ||
+ | {|style="text-align:center" | ||
+ | | | ||
+ | {| | ||
+ | |rowspan = "3"|R<sub>1</sub> = ( | ||
+ | |<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub> | ||
+ | |… | ||
+ | |a<sub>ij</sub> | ||
+ | |rowspan = "3"|) | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="3"|⋱ | ||
+ | |- | ||
+ | |0 | ||
+ | |… | ||
+ | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub> | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
+ | {| | ||
+ | |rowspan = "3"|R<sub>2</sub> = ( | ||
+ | ||<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub> | ||
+ | |… | ||
+ | |0 | ||
+ | |rowspan = "3"|) | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="3"|⋱ | ||
+ | |- | ||
+ | |a<sub>ij</sub> | ||
+ | |… | ||
+ | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub> | ||
+ | |} | ||
+ | |} | ||
+ | * (E + ωR<sub>1</sub>)(E + ωR<sub>2</sub>)<sup>(x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f, ω, τ > 0, n ∈ ℕ ∪ {0}, x<sup>0</sup> — задано | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Теорема (об оценке скорости сходимости ПТИМ)'''. Пусть A = A* > 0. Пусть существуют такие две константы δ > 0, Δ > 0: | ||
+ | * A ≥ δE, R*<sub>2</sub>R<sub>2</sub> ≤ Δ/4 A (2) | ||
+ | * Положим ω = 2/√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>, τ = 2/(γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>), γ<sub>1</sub> = √<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/2 (√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>+√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>)); γ<sub>2</sub> = √<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>/4 (4) | ||
+ | * ||x<sup>n + 1</sup> − x||<sub>B</sub> ≤ ρ ||x<sup>n</sup> − x||<sub>B</sub> (5) | ||
+ | * где B = (E + ωR*<sub>2</sub>)(E + ωR<sub>2</sub>), ρ = (1 − √<span style="border-top:solid 1px">η</span>)/(1 + 3√<span style="border-top:solid 1px">η</span>), η = δ/Δ (6) | ||
+ | ** R*<sub>2</sub> = R<sub>1</sub> | ||
+ | |||
+ | '''Доказательство'''. Для начала убедимся, что δ ≤ Δ. Лектор напомнит ещё, что значит неравенство (3): | ||
+ | * (Ax, x) ≥ δ(x, x) = δ||x||<sup>2</sup>, x ≠ 0 | ||
+ | * (R*<sub>2</sub>R<sub>2</sub>x, x) = (R<sub>2</sub>x, R<sub>2</sub>x) = ||R<sub>2</sub>x||<sup>2</sup> ≤ Δ/4 (Ax, x) | ||
+ | * δ||x||<sup>2</sup> ≤ (Ax, x) = (Ax, x)<sup>2</sup>/(Ax, x) | ||
+ | Далее, что такое (Ax, x): | ||
+ | * (Ax, x) = ((R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>)x, x) = (R<sub>1</sub>x, x) + (R<sub>2</sub>x, x) = {так как R<sub>1</sub> = R*<sub>2</sub>} = (R*<sub>2</sub>x, x ) + (R<sub>2</sub>x, x) = (x, R<sub>2</sub>x) + (R<sub>2</sub>x, x) = 2(R<sub>2</sub>x, x) | ||
+ | Теперь можно записать, что | ||
+ | * δ||x||<sup>2</sup> ≤ (Ax, x) = (Ax, x)<sup>2</sup>/(Ax, x) = 4(R<sub>2</sub>x, x)<sup>2</sup>/(Ax, x) | ||
+ | Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского: | ||
+ | * 4(R<sub>2</sub>x, x)<sup>2</sup>/(Ax, x) ≤ (4||R<sub>2</sub>x||<sup>2</sup>||x||<sup>2</sup>)/(Ax, x) ≤ 4Δ/4 (Ax, x)||x||<sup>2</sup>/(Ax, x) = Δ||x||<sup>2</sup> | ||
+ | Из этого следует, что δ ≤ Δ, причём неравенство почти всегда строгое. | ||
+ | |||
+ | Доказательство собственно теоремы: | ||
+ | |||
+ | //Где-то рядом записано: γ<sub>1</sub>B ≤ A ≤ γ<sub>2</sub>B | ||
+ | |||
+ | Запишем B = E + ωA + ω<sup>2</sup>R*<sub>2</sub>R<sub>2</sub> = (*) | ||
+ | * мы показали, что B ≥ 2ωA | ||
+ | * A ≤ ½ ωB | ||
+ | * γ<sub>2</sub> = 1/2ω | ||
+ | * (*) ≤ 1/δ A + ωA + ω<sup>2</sup> Δ/4 A = (1/δ + ω + ω<sup>2</sup>Δ/4)A | ||
+ | * γ<sub>1</sub> = (1/δ + ω + ω<sup>2</sup>Δ/4)<sup>−1</sup> | ||
+ | * ||x<sup>n + 1</sup> − x||<sub>B</sub> ≤ ρ ||x<sup>n</sup> − x||<sub>B</sub> | ||
+ | * ρ = (1 − ξ(ω))/(1 + 3ξ(ω)), ξ = γ<sub>1</sub>/γ<sub>2</sub> | ||
+ | * τ = 2/(γ<sub>1</sub>(ω)+γ<sub>2</sub>(ω)) | ||
+ | * f(ω) = γ<sub>2</sub>(ω)/γ<sub>1</sub>(ω) = (1/δ + ω + ω<sup>2</sup>Δ/4)/(2ω) = ½ (1 + 1/δω + ωΔ/4) | ||
+ | * Для максимальной скорости сходимости необходимо найти минимум: f'(ω)=1/2 (Δ/4 − 1/δω<sup>2</sup>), 1/δω<sup>2</sup> = Δ/4, ω<sup>2</sup> = 4/δΔ, ω = 2/√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span> = ω<sub>0</sub> | ||
+ | * f''(ω<sub>0</sub>) = 1/δω<sup>3</sup> > 0 ⇒ ω<sub>0</sub> — минимум ⇒ максимальная скорость сходимости | ||
+ | |||
+ | Теперь получаем остальное: | ||
+ | * γ<sub>2</sub> = 1/2ω = √<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>/4 | ||
+ | * γ<sub>1</sub> = (1/δ + 2/√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span> + 4Δ/(δΔ×4)) = 2(1/δ + 1/√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>)<sup>−1</sup> = ½ ((√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>)/(δ√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>))<sup>−1</sup> = √<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/2 (√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>)) | ||
+ | * ρ = (1 − ξ)/(1 + ξ) | ||
+ | ** ξ = γ<sub>1</sub>/γ<sub>2</sub> = √<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/2 (√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span> × 4/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>)√<span style="border-top:solid 1px">δΔ</span>) = 2√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) | ||
+ | ** 1 − ξ = 1 − 2√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) = (√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span> − 2√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>)/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) = (√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span> − √<span style="border-top:solid 1px">δ</span>)/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) | ||
+ | ** 1 + ξ = 1 + 2√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) = (√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span> − 3√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>)/(√<span style="border-top:solid 1px">δ</span> + √<span style="border-top:solid 1px">Δ</span>) | ||
+ | ** ρ = (√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span> − √<span style="border-top:solid 1px">δ</span>)/(√<span style="border-top:solid 1px">Δ</span> − 3√<span style="border-top:solid 1px">δ</span>) = (1 − √<span style="border-top:solid 1px">η</span>)/(1 + 3√<span style="border-top:solid 1px">η</span>), η = δ/Δ | ||
+ | |||
+ | чтд | ||
+ | |||
+ | Разные итерационные методы сравниваются по количеству действий для достижения необходимой точности: | ||
+ | * n<sub>0</sub>(ε) = [<sup>ln <sup>1</sup>/<sub>ε</sub></sup>/<sub>ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub></sub>] | ||
+ | |||
+ | '''Замечание.''' Большинство задач, которое приходится решать математикам таково, что число η = O(m<sup>−2</sup>) маленькое, <sup>1</sup>/<sub>η</sub> ~ O(m<sup>2</sup>) большое. Посмотрим, сколько потребуется итераций: | ||
+ | * <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> = <sup>1 + 3√<span style="border-top:solid 1px">η</span></sup>/<sub>1 − √<span style="border-top:solid 1px">η</span></sub> ≈ <sup>(1 + 3√<span style="border-top:solid 1px">η</span>)(1 + √<span style="border-top:solid 1px">η</span>)</sup>/<sub>1 − η</sub> ≈ 1 + 4√<span style="border-top:solid 1px">η</span>. Тогда ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> = 4√<span style="border-top:solid 1px">η</span> = O(m<sup>−1</sup>), n<sub>0</sub>(ε) = O(m) | ||
+ | |||
+ | === Метод простой итерации === | ||
+ | Теперь рассмотрим метод простой итерации (метод релаксации): | ||
+ | * ||x<sup>n + 1</sup> − x|| ≤ ρ ||x<sup>n</sup> − x||, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub>, ξ = η = O(m<sup>−2</sup>) | ||
+ | * 1/ρ = <sup>1 + η</sup>/<sub>1 − η</sub> ≈ (1 + η)<sup>2</sup> ≈ 1 + 2η | ||
+ | * ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> ≈ η, n<sub>0</sub>(ε) = O(m<sup>2</sup>) | ||
+ | |||
+ | == Параграф 9. Методы решения задач на собственные значения. == | ||
+ | |||
+ | Это гигантский совершенно класс задач, очень сложный с точки зрения решения. | ||
+ | |||
+ | Есть совершенно произвольная вещественная матрица A. Нужно найти λ такие, что Ax = λx, x ≠ 0 (1) | ||
+ | * λ — собственные значения | ||
+ | * x — собственные вектора | ||
+ | |||
+ | '''Замечание.''' Математики перенормировывают собственные вектора каждый раз. Чтобы ошибки округления не исказили сам подход. | ||
+ | |||
+ | Находим корни характеристического многочлена f(λ) = |A − λE| = 0 | ||
+ | |||
+ | Два круга проблем: | ||
+ | * Частичная проблема собственных значений — нужно находить только отдельные собственные значения (максимальное, минимальное) | ||
+ | * Полная проблема собственных значений — нужно находить все собственные значения | ||
+ | |||
+ | Всего m значений (с учётом кратности): λ<sub>k</sub>, k = 1..m | ||
+ | |||
+ | Вообще говоря, собственные значения комплексные. | ||
+ | |||
+ | Все методы итерационные. Один из самых простых методов — степенной метод. | ||
+ | |||
+ | === Степенной метод === | ||
+ | x<sub>n</sub> — n-я итерация. | ||
+ | |||
+ | Степенной метод — метод, который описывается уравнением 2: | ||
+ | * x<sub>n + 1</sub> = Ax<sub>n</sub> (2) | ||
+ | * n = 0, 1, ..., x<sub>0</sub> — начальное приближение | ||
+ | * x<sub>n</sub> = A<sup>n</sup>x<sub>0</sub> (3) | ||
+ | |||
+ | Условия: | ||
+ | * Предположения относительно матрицы A: | ||
+ | ** Все собственные значения расположены в порядке неубывания модуля: |λ<sub>1</sub>| ≤ |λ<sub>2</sub>| ≤ |λ<sub>3</sub>| ≤ ... ≤ |λ<sub>m − 1</sub>| < |λ<sub>m</sub>| | ||
+ | ** Условие А: Мы рассматриваем класс матриц, для которфых существет базис из собственных векторов: {e<sub>k</sub>}<sub>1</sub><sup>m</sup> — базис из собственных векторов A (Ae<sub>k</sub> = λ<sub>k</sub>e<sub>k</sub>, k = 1..m) | ||
+ | ** Ограничение B: последнее собственное значение не является кратным: |(λ<sub>m − 1</sub>)/(λ<sub>m</sub>) < 1 | ||
+ | ** Ограничение C: ∀ x = c<sub>1</sub>e<sub>1</sub> + ... + c<sub>m</sub>e<sub>m</sub>, c<sub>m</sub> ≠ 0 | ||
+ | |||
+ | x<sub>n</sub> = c<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>n</sup>e<sub>1</sub> + c<sub>2</sub>λ<sub>2</sub><sup>n</sup>e<sub>2</sub> + ... + c<sub>m</sub>λ<sub>m</sub><sup>n</sup>e<sub>m</sub> | ||
+ | |||
+ | x<sub>n</sub>/c<sub>m</sub>λ<sup>n</sup><sub>m</sub> = (c<sub>1</sub>/c<sub>m</sub>)(λ<sub>1</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>1</sub> + (c<sub>2</sub>/c<sub>m</sub>)(λ<sub>2</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>2</sub> + ... + e<sub>m</sub> | ||
+ | |||
+ | x<sub>n</sub><sup>(i) — координата</sup> = c<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>n</sup>e<sub>1</sub><sup>(i)</sup> + c<sub>2</sub>λ<sub>2</sub><sup>n</sup>e<sub>2</sub><sup>(i)</sup> + ... + c<sub>m</sub>λ<sub>m</sub><sup>n</sup>e<sub>m</sub><sup>(i)</sup> | ||
+ | x<sub>n+1</sub><sup>(i)</sup> = c<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>n+1</sup>e<sub>1</sub><sup>(i)</sup> + c<sub>2</sub>λ<sub>2</sub><sup>n+1</sup>e<sub>2</sub><sup>(i)</sup> + ... + c<sub>m</sub>λ<sub>m</sub><sup>n+1</sup>e<sub>m</sub><sup>(i)</sup> | ||
+ | |||
+ | x<sub>n+1</sub><sup>(i)</sup>/x<sub>n</sub><sup>(i)</sup> = λ<sub>m</sub><sup>(n)</sup> = λ<sub>m</sub> + O(|λ<sub>m − 1</sub>/λ<sub>m</sub>|)<sup>n</sup> | ||
+ | |||
+ | {{Численные Методы}} | ||
+ | {{Lection-stub}} |
Текущая версия
Предыдущая лекция | Следующая лекция
Содержание |
[править] Глава 1
[править] Параграф 8. Исследование сходимости ПТИМ (продолжение)
Решаем систему (1), (2):
- Ax = f (1)
- |A| ≠ 0, A ∈ ℝm × m
- A = R1 + R2,
|
|
- (E + ωR1)(E + ωR2)(xn+1 − xn)/τ + Axn = f, ω, τ > 0, n ∈ ℕ ∪ {0}, x0 — задано
Теорема (об оценке скорости сходимости ПТИМ). Пусть A = A* > 0. Пусть существуют такие две константы δ > 0, Δ > 0:
- A ≥ δE, R*2R2 ≤ Δ/4 A (2)
- Положим ω = 2/√δΔ, τ = 2/(γ1 + γ2), γ1 = √δ/2 (√δΔ/(√δ+√Δ)); γ2 = √δΔ/4 (4)
- ||xn + 1 − x||B ≤ ρ ||xn − x||B (5)
- где B = (E + ωR*2)(E + ωR2), ρ = (1 − √η)/(1 + 3√η), η = δ/Δ (6)
- R*2 = R1
Доказательство. Для начала убедимся, что δ ≤ Δ. Лектор напомнит ещё, что значит неравенство (3):
- (Ax, x) ≥ δ(x, x) = δ||x||2, x ≠ 0
- (R*2R2x, x) = (R2x, R2x) = ||R2x||2 ≤ Δ/4 (Ax, x)
- δ||x||2 ≤ (Ax, x) = (Ax, x)2/(Ax, x)
Далее, что такое (Ax, x):
- (Ax, x) = ((R1 + R2)x, x) = (R1x, x) + (R2x, x) = {так как R1 = R*2} = (R*2x, x ) + (R2x, x) = (x, R2x) + (R2x, x) = 2(R2x, x)
Теперь можно записать, что
- δ||x||2 ≤ (Ax, x) = (Ax, x)2/(Ax, x) = 4(R2x, x)2/(Ax, x)
Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:
- 4(R2x, x)2/(Ax, x) ≤ (4||R2x||2||x||2)/(Ax, x) ≤ 4Δ/4 (Ax, x)||x||2/(Ax, x) = Δ||x||2
Из этого следует, что δ ≤ Δ, причём неравенство почти всегда строгое.
Доказательство собственно теоремы:
//Где-то рядом записано: γ1B ≤ A ≤ γ2B
Запишем B = E + ωA + ω2R*2R2 = (*)
- мы показали, что B ≥ 2ωA
- A ≤ ½ ωB
- γ2 = 1/2ω
- (*) ≤ 1/δ A + ωA + ω2 Δ/4 A = (1/δ + ω + ω2Δ/4)A
- γ1 = (1/δ + ω + ω2Δ/4)−1
- ||xn + 1 − x||B ≤ ρ ||xn − x||B
- ρ = (1 − ξ(ω))/(1 + 3ξ(ω)), ξ = γ1/γ2
- τ = 2/(γ1(ω)+γ2(ω))
- f(ω) = γ2(ω)/γ1(ω) = (1/δ + ω + ω2Δ/4)/(2ω) = ½ (1 + 1/δω + ωΔ/4)
- Для максимальной скорости сходимости необходимо найти минимум: f'(ω)=1/2 (Δ/4 − 1/δω2), 1/δω2 = Δ/4, ω2 = 4/δΔ, ω = 2/√δΔ = ω0
- f''(ω0) = 1/δω3 > 0 ⇒ ω0 — минимум ⇒ максимальная скорость сходимости
Теперь получаем остальное:
- γ2 = 1/2ω = √δΔ/4
- γ1 = (1/δ + 2/√δΔ + 4Δ/(δΔ×4)) = 2(1/δ + 1/√δΔ)−1 = ½ ((√δ + √Δ)/(δ√Δ))−1 = √δ/2 (√δΔ/(√δ + √Δ))
- ρ = (1 − ξ)/(1 + ξ)
- ξ = γ1/γ2 = √δ/2 (√δΔ × 4/(√δ + √Δ)√δΔ) = 2√δ/(√δ + √Δ)
- 1 − ξ = 1 − 2√δ/(√δ + √Δ) = (√δ + √Δ − 2√δ)/(√δ + √Δ) = (√Δ − √δ)/(√δ + √Δ)
- 1 + ξ = 1 + 2√δ/(√δ + √Δ) = (√Δ − 3√δ)/(√δ + √Δ)
- ρ = (√Δ − √δ)/(√Δ − 3√δ) = (1 − √η)/(1 + 3√η), η = δ/Δ
чтд
Разные итерационные методы сравниваются по количеству действий для достижения необходимой точности:
- n0(ε) = [ln 1/ε/ln 1/ρ]
Замечание. Большинство задач, которое приходится решать математикам таково, что число η = O(m−2) маленькое, 1/η ~ O(m2) большое. Посмотрим, сколько потребуется итераций:
- 1/ρ = 1 + 3√η/1 − √η ≈ (1 + 3√η)(1 + √η)/1 − η ≈ 1 + 4√η. Тогда ln 1/ρ = 4√η = O(m−1), n0(ε) = O(m)
[править] Метод простой итерации
Теперь рассмотрим метод простой итерации (метод релаксации):
- ||xn + 1 − x|| ≤ ρ ||xn − x||, ρ = 1 − ξ/1 + ξ, ξ = γ1/γ2, ξ = η = O(m−2)
- 1/ρ = 1 + η/1 − η ≈ (1 + η)2 ≈ 1 + 2η
- ln 1/ρ ≈ η, n0(ε) = O(m2)
[править] Параграф 9. Методы решения задач на собственные значения.
Это гигантский совершенно класс задач, очень сложный с точки зрения решения.
Есть совершенно произвольная вещественная матрица A. Нужно найти λ такие, что Ax = λx, x ≠ 0 (1)
- λ — собственные значения
- x — собственные вектора
Замечание. Математики перенормировывают собственные вектора каждый раз. Чтобы ошибки округления не исказили сам подход.
Находим корни характеристического многочлена f(λ) = |A − λE| = 0
Два круга проблем:
- Частичная проблема собственных значений — нужно находить только отдельные собственные значения (максимальное, минимальное)
- Полная проблема собственных значений — нужно находить все собственные значения
Всего m значений (с учётом кратности): λk, k = 1..m
Вообще говоря, собственные значения комплексные.
Все методы итерационные. Один из самых простых методов — степенной метод.
[править] Степенной метод
xn — n-я итерация.
Степенной метод — метод, который описывается уравнением 2:
- xn + 1 = Axn (2)
- n = 0, 1, ..., x0 — начальное приближение
- xn = Anx0 (3)
Условия:
- Предположения относительно матрицы A:
- Все собственные значения расположены в порядке неубывания модуля: |λ1| ≤ |λ2| ≤ |λ3| ≤ ... ≤ |λm − 1| < |λm|
- Условие А: Мы рассматриваем класс матриц, для которфых существет базис из собственных векторов: {ek}1m — базис из собственных векторов A (Aek = λkek, k = 1..m)
- Ограничение B: последнее собственное значение не является кратным: |(λm − 1)/(λm) < 1
- Ограничение C: ∀ x = c1e1 + ... + cmem, cm ≠ 0
xn = c1λ1ne1 + c2λ2ne2 + ... + cmλmnem
xn/cmλnm = (c1/cm)(λ1/λm)ne1 + (c2/cm)(λ2/λm)ne2 + ... + em
xn(i) — координата = c1λ1ne1(i) + c2λ2ne2(i) + ... + cmλmnem(i) xn+1(i) = c1λ1n+1e1(i) + c2λ2n+1e2(i) + ... + cmλmn+1em(i)
xn+1(i)/xn(i) = λm(n) = λm + O(|λm − 1/λm|)n
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Календарь
|
|
|
Дополнительная информация |
Материалы к экзамену |