Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 σ-алгебра
2 Случайный эксперимент
3 Случайная величина
- 3.1 Определение
- 3.2 Определение
4 Вероятность
5 Вероятностное пространство
- 5.1 Определение
  - 5.1.1 Замечания
6 Распределение вероятностей
- 6.1 Определение
7 Случайная выборка
8 Источники

[править] $σ$ -алгебра

Совокупность A подмножеств множества $Ω$ называется $σ$ -алгеброй:

$\Omega \in A$
$A_l \in A, l = 1,2$ , то $\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A$
если $B \in A$ , то $\overline{B} \in A$

[править] Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

[править] Случайная величина

Определение случайной величины различно для 2-х случаев: $Ω$ -- счетное или не счетное

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий $Ω = {ω 1,...,ω n}$ .

[править] Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Функция $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ , измеримая относительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$ , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

[править] Определение

Случайной величиной называется функция $X = X (ω)$ , заданная на пространстве элементарных событий $Ω$ , для которой событие {X < x} = ${ω: X (ω) < x}$ принадлежит $σ$ -алгебре A для любого вещественного X.

[править] Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

Р(Ω)=1
Р(А)>=0 для любого $A \in X$
обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

[править] Вероятностное пространство

[править] Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , где

$\Omega \$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
$\mathcal{F}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega \$ , называемых (случайными) событиями;
$\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

[править] Замечания

Элементарные события (элементы $\Omega \$ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент $\mathcal{F}$ ) — это подмножество $\Omega \$ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subset \Omega$ , если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$ .
Требование, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega \$ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

[править] Распределение вероятностей

Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению $x l$ дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность $p l$ .

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

[править] Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , и на нём определена случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ . В частности, по определению, $X$ является измеримым отображением измеримого пространства $(\Omega, \mathcal{F})$ в измеримое пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на $\mathbb{R}$ . Тогда случайная величина $X$ индуцирует вероятностную меру $\mathbb{P}^X$ на $\mathbb{R}$ следующим образом:

$\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$

Мера $\mathbb{P}^X$ называется распределением случайной величины $X$ .

[править] Случайная выборка

Случайной выборкой объема $n$ , отвечающей случайной величине $X$ , c функцией распределения $F (x)$ , называется набор $n$ независимых случайных величин $X 1, X 2,..., X n$ , каждая из которых имеет распределение $F (x)$

[править] Источники

http://ru.wikipedia.org

Математические основы теории прогнозирования

Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+= <math>\sigma</math>-алгебра =
+Совокупность A подмножеств множества <math>\Omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй:
+* <math>\Omega \in A</math>
+* <math>A_l \in A, l = 1,2</math>, то <math>\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A</math>
+* если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math>
 = Случайный эксперимент =
-это матетатическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
+'''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
 = Случайная величина =
-Подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
+Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное
+'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
+'''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
+'''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>.
+==Определение==
+Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.
+Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
+==Определение==
+Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X.
 = Вероятность =
 '''Вероятность''' (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события.  Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
 '''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):
-. Р(Ω)=1:
-. Р(А)>=0 для любого А€X;
+* Р(Ω)=1
+* Р(А)>=0 для любого <math>A \in X</math>
-. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
+* обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
 = Вероятностное пространство =
@@ Строка 23: / Строка 47: @@
 === Замечания ===
 * Элементарные события (элементы <math>\Omega \ </math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
-* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности [[Дополнение (теория множеств)|дополнения]] любого события.
+* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
+= Распределение вероятностей =
+''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.
+'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
+== Определение ==
+'''Определение ''' Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math>. В частности, по определению, <math>X</math> является измеримым отображением измеримого пространства <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> в измеримое пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> обозначает борелевскую сигма-алгебру на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда случайная величина <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}</math> следующим образом:
+:<math>\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).</math>
+Мера <math>\mathbb{P}^X</math> называется '''распределением''' случайной величины <math>X</math>.
+= Случайная выборка =
+'''Случайной выборкой объема <math>n</math>''', отвечающей случайной величине <math>X</math>, c функцией распределения <math>F(x)</math>, называется набор <math>n</math> независимых случайных величин <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>, каждая из которых имеет распределение <math>F(x)</math>
+= Источники =
+http://ru.wikipedia.org
+{{Курс МОТП}}

Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Текущая версия

Содержание

[править] $σ$ -алгебра

[править] Случайный эксперимент

[править] Случайная величина

[править] Определение

[править] Определение

[править] Вероятность

[править] Вероятностное пространство

[править] Определение

[править] Замечания

[править] Распределение вероятностей

[править] Определение

[править] Случайная выборка

[править] Источники

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Текущая версия

Содержание

[править] σ-алгебра

[править] Случайный эксперимент

[править] Случайная величина

[править] Определение

[править] Определение

[править] Вероятность

[править] Вероятностное пространство

[править] Определение

[править] Замечания

[править] Распределение вероятностей

[править] Определение

[править] Случайная выборка

[править] Источники

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

[править] $σ$ -алгебра