Редактирование: МОТП, Контрольная 2013

<math>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} P_y p_y(x),</math>

где <math>x</math> - классифицируемый пример, <math>a(x)</math> - классификатор, <math>Y</math> - множество классов (<math>K_1, K_2</math>), <math>P_y</math> - вероятность появления объекта класса <math>y</math> (априорная вероятность), <math>p_y(x)</math> - плотность распределения класса <math>y</math> в точке <math>x</math>.

Построим множество, на котором <math> P_1 p_1(x) \lessgtr P_2 p_2(x).</math> Для этого решим уравнение:

<math> 0.3 p(x|K_1) \lessgtr 0.7 p(x|K_2) </math>

== Задача 3 ==

Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков <math> x_1 </math> и <math> x_2 </math>. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

Класс 1: <math> \begin{pmatrix} 2.3 \\ 1.8 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.0 \\ 1.9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.2 \\ 2.1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.1 \\ 0.6 \end{pmatrix} </math>

Класс 2: <math> \begin{pmatrix} -0.9 \\ -3.6 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -0.1 \\ -3.8 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0.1 \\ -2.8 \end{pmatrix} </math>

=== Решение ===

Перпендикуляр к прямой, разделяющей объекты двух классов, описывается уравнением:

<math>\vec{w} = ( \Sigma_1 + \Sigma_2 )^{-1}(\vec{\mu_1} - \vec{\mu_2}),</math>

где <math> \vec{\mu_i} </math> - матожидания объектов каждого класса, а <math> \Sigma_i </math> - ковариационная матрица.

Посчитаем матождиания:

<math> \vec{\mu_1} = \frac{1}{4} \left( \begin{pmatrix} 2.3 \\ 1.8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.0 \\ 1.9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.2 \\ 2.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.1 \\ 0.6 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2.9 \\ 1.6 \end{pmatrix}</math>

<math> \vec{\mu_2} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} -0.9 \\ -3.6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.1 \\ -3.8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.1 \\ -2.8 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -0.3 \\ -3.4 \end{pmatrix}</math>

Посчитаем ковариационные матрицы:

<math> \Sigma_1 = \frac{1}{4} \left( \begin{pmatrix} (2.3-2.9)\cdot(2.3-2.9) & (2.3 - 2.9)\cdot(1.8 - 1.6)\\ (1.8 - 1.6)\cdot(2.3 - 2.9)& (1.8 - 1.6)\cdot(1.8 - 1.6) \end{pmatrix} + ... \right) = \begin{pmatrix} 0.125& -0.035 \\ -0.035& 0.345 \end{pmatrix}</math>

<math> \Sigma_2 = \begin{pmatrix} 0.187& 0.093 \\ 0.093& 0.187 \end{pmatrix}</math>

<math> \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.312& 0.058 \\ 0.058& 0.532 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{0.163}\begin{pmatrix} 0.532& -0.058 \\ -0.058& 0.312 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec{w} = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 2.9 \\ 1.6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -0.3 \\ -3.4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3.2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix}</math>

[[Изображение:MOTP_2013_3.png]]

'''Ответ:''' <math> \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix} </math>

== Задача 4 ==

При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации "грязных" участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 1000, наблюдателей --- 200 и доля "грязных" участков --- 30%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков.

{| border = 1

| Чувствительность

| Ложная тревога

|-

| 0.86

| 0.11

|-

| 0.90

| 0.31

|-

| 0.92

| 0.32

|}

=== Решение: ===

''Чувствительность'' - отношение числа верно распознаных примеров позитивного класса к общему размеру класса: <math> \frac{TP}{TP + FN} </math>

''Ложная тревога'' - отношение числа ошибочно распознанных примеров позитивного класса к размеру негативного класса: <math> \frac{FP}{FP + TN} </math>

''Позитивный исход'' - идентификация "грязного" участка.

В случае стратегии равномерного распределения наблюдателей по всем участкам, на выбранном участке будет наблюдатель с вероятностью <math> \frac{200}{1000} = 20% </math>. Всего чистых участков: <math>1000 \cdot 70% + 1000 \cdot 30% \cdot 20% = 760. </math>

Рассмотрим первый алгоритм.

<math> 300 = TP + FN </math>

<math> 700 = TN + FP </math>

<math> 0.86 = \frac{TP}{TP + FN} </math>

<math> 0.11 = \frac{FP}{FP + TN} </math>

Решая систему, получаем, что <math> TP = 258 </math>, <math> FP = 77 </math>, <math> FN = 42 </math>, <math> TN = 623 </math>. Всего метод возвращает 258+77 = 335 результатов. Наблюдателей в распоряжении - меньше, поэтому распределим их равномерно среди участков, которые вернул метод. Вероятность того, что наблюдатель попадёт на произвольны среди выбранных классификатором участков, равна <math> \frac{200}{335} = 0.597 </math>, поэтому среди выбранных участков наблюдатели попадут в среднем на <math> 258 \cdot 0.597 = 154 </math> участка, и всего чистыми будут <math> 700 + 154 = 854</math> участка. Выигрыш составил <math>854-760 = 94</math> участка.

Аналогично для других точек.

== Задача 5 ==

Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

{| border = 1

| Y

| 5.9

| 4.0

| 2.4

| 1.7

|-

| X

| 8.3

| 7.6

| 3.0

| 2.3

|}

=== Решение ===

<math> cov(X,Y) = \overline{(X - \overline{X})(Y - \overline{Y})} </math>

<math> \overline{X} = 5.3 </math>

<math> \overline{Y} = 3.5 </math>

<math> cov(X,Y) = \frac{1}{4}((5.9 - 3.5)\cdot(8.3 - 5.3) + (4.0 - 3.5)\cdot(7.6 - 5.3) + (2.4 - 3.5)\cdot(3.0 - 5.3) + (1.7 - 3.5)\cdot(2.3 - 5.3)) = 4.07 </math>

<math> r(X,Y) = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} </math>

<math> DX = \overline{(X-\overline{X})^2} = 7.145 </math>

<math> DY = \overline{(Y-\overline{Y})^2} = 2.615 </math>

<math> r(X,Y) = \frac{4.07}{\sqrt{7.145}\sqrt{2.615}} = 0.94 </math>

Воспользуемся методом наименьших квадратов для расчета коэффициентов одномерной линейной регрессии <math> Y = a + bX </math>:

<math> b = \frac{cov(X,Y)}{DX} = \frac{4.07}{7.145} = 0.57 </math>

<math> a = \overline{Y} - b\overline{X} = 3.5 - 0.57 \cdot 5.3 = 0.479 </math>

Получаем линейную регрессию: <math> Y = 0.479 + 0.57X </math>

== Задача 6 ==

Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов <math>K_1</math> и <math>K_2</math>. Требуется найти все тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.

{| border = 1

|colspan="4" | Класс 1

|-

| X_1 || X_2 || X_3 || X_4

|-

| 0 || 0 || 0 || 0

|-

| 1 || 0 || 1 || 0

|-

| 0 || 0 || 0 || 1

|}

{| border = 1

|colspan="4" | Класс 2

|-

| X_1 || X_2 || X_3 || X_4

|-

| 1 || 0 || 1 || 1

|-

| 1 || 1 || 0 || 0

|-

| 1 || 1 || 0 || 0

|}

=== Решение ===

Кратчайший тупиковый тест состоит из трёх столбцов: <math> (X_1, X_2, X_4), (X_1, X_3, X_4) </math> или <math> (X_2, X_3, X_4) </math>. Тестов длины 2 не существует, т.к. для любой пары столбцов найдутся две одинаковые строки в каждой из таблиц.

Представительный набор определяется для класса и для элемента. Например, для первого элемента первого класса представительным будет набор - <math>(0, 0, X_3, X_4)</math> (заметим, что этот набор не тупиковый, подходит также <math>(0, X_2, X_3, X_4)</math>), а для первого элемента второго класса - набор <math>(X_1, X_2, 1, 1)</math>