Редактирование: История математики, 03 лекция (от 18 сентября 2008 года)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
* '''Диктофонная запись:''' http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_09_18.ogg | * '''Диктофонная запись:''' http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_09_18.ogg | ||
- | + | В ём влияние выч. техники на развитие мтематики. | |
- | Даже | + | Даже классич. матем. претерпела изм. Целая куча даже старых задач, здачи геодезии, где надо было составлять большие системы, аналогично задачи прогноза погоды. Прихдилось придумывать новые методы. То же --- решение больших систем диф. уров. То же задачи регуляризации, пск. тчно задачи, особенно обртные, решать нельзя, необх. плучать прибл. решения. |
- | Лектор | + | Лектор расск. о мтем. древней греции, расск. о пифагр. математике. Крме того, это первый в истории кризис мтематике, нахждение несоизм. отрезков. Поэтому пифагор. пняли, что мн-фо отрезков более полно, чем множество целых чисел. Пифагор. поняли это не сразу, и для них это было шоком. |
- | В это же время | + | В это же время возн. много мт. прблем, влияние которых чувствовлсь н протяж. тысячелетий. Задача о трисекции угла, удвоении куба, квдратуре круга. |
- | Об удвоении куба. На одном острове не было дождя, и жрец сказал, что нужен жертвенный куб, в два раза больший, чем имеющийся. И эту | + | Об удвоении куба. На одном острове не было дождя, и жрец сказал, что нужен жертвенный куб, в два раза больший, чем имеющийся. И эту дачу решить не смогли. Тогда решали всё циркулем и линейкой, факт., необх было корями второй степени пстр. 2^(1/3). Первым выск. невзм. этого Рене Декарт, но док. это принадлежит ... в 1837. По сущ., это свдилось к реш. ур cos φ = 4 cos^3 φ/3 - 3cos φ/3 |
- | + | Квадртур круга. Надо постр. квадрат, равновеликий кругу. x= sqrt(p). | |
- | Трисекция угла. Из теоремы Ванцеля следует, что её тоже решить нельзя, и | + | Трисекция угла. Из теоремы Ванцеля следует, что её тоже решить нельзя, и факт. та же задача. |
Но греки, схитрив, таки делили угол на три. | Но греки, схитрив, таки делили угол на три. | ||
- | + | Нарисовть угол, Из центра нарис полукруг. Взять линейку и сделать засеяки расст. с рдиус. И будет ездить прямой, пока внешность не стнет равна r. | |
- | Но | + | Но эт не честное постр., пскольку тут есть движение. |
- | Что ещё | + | Что ещё сроили древние: постр. квадрата, равновеликого прямоугольнику. Факт., небх. найти sqrt(a,b). Для этого рис отр. a, b, и стр. окр. как на диаметре, и если постр. тр, переп точке сопр, т будет sqrt(ab) |
Отсюда же следует, что (a+b)/2 ≥ sqrt(ab) | Отсюда же следует, что (a+b)/2 ≥ sqrt(ab) | ||
- | Это не единственный способ | + | Это не единственный способ доказтельства, н этот один из прстых. |
- | + | Дстточн изобр. способы использвали древние | |
- | + | Отр. числа. Довольно долго их не принимали. | |
- | Это то, что | + | Это то, что кас. пиф. школы. |
- | К этому периоду относятся и апории | + | К этому периоду относятся и апории Зинона. |
- | + | Откуд они появились? Хтелось получить конеч. число из беск. количества беск. млых величин. | |
Апории: ахиллес и черепаха, дихотомия. | Апории: ахиллес и черепаха, дихотомия. | ||
- | Философы | + | Философы думли нд этим гдами. |
- | Ньютон | + | Ньютон опр. беск. млую величину как ... . |
- | + | Ньютон пользовлся флюксиями (произвдными), но сами рабты, связанные с её свойствами не публиковл, поск считал её неточными. | |
- | + | налгично поступал и Эйлер. | |
- | Вспомним про философов | + | Вспомним про философов Дамакрит (460-370 д н э). Тгд все были философы. Чем он занимался? Мтем., физик, биология, ... Нас инт. ег мат. предст, мт. воззрение. |
- | Соль его | + | Соль его мат. предст. в атомист. предст. |
- | Он считал, что все | + | Он считал, что все вел-ны состоит из элементов меньшей рзмерности, из атомов. |
- | Метод | + | Метод исчерпывния. При необх. выч. площади фигуры в неё впис. фигуры, площдь котрых известна, и которые ппрокс. её всё лучше. И потом получающуюся площадь приним. за площдь фигуры. |
- | + | Платон (424-347 лет). Нд входом в Академию (деревушк пд Афиннми с таким названием) висел надпись "не знающий геометрию да не вйдёт сюда" | |
- | Что такое | + | Что такое познние у Платона? Это пнимание того, что ты видел в потустороннем мире ещё до своего рождения. |
- | + | Аристотель. (384-322) Его филос. господстввала в мире на протяжении 2 тысяч лет. Трудно сказать, что он матем, но некотрые моменты у него были. | |
- | Именно ему | + | Именно ему приндл. пнятия налогии, индукции, дедукции |
- | Любое движение | + | Любое движение сост. из прямлинейного и по кругу. Это господствовло достаточн долго. |
- | + | ристтель уделял много внимния понятию бесконечности. Он обсуждал и платновскую филос, и пифагр. | |
- | + | След. Евклид (коло 300 г д н э). Жил и работл в Александрии. Там и Полоний, и ..., и Эратосфен рботали. Там был пстроен нучный центр | |
- | + | Евклид. ДЕло в том, что сзрела необюходимость в сист. матем. Со свими обоснованиями, со свей системой логич. вывдов и док. Ткую сист. нзывали начала. И евкл. начала не первые. Первые были Гиппократа хиосского, но они до нас не ошли. | |
- | + | Гиппоккрт хиосский. Он начал изучать квадрируемые луночки. Утв. сто площадь лунок равн площади треуг. Это было сделано за 500 лет до нэ, квдрирование кривых. Лишь в нчале 20-го века было доказно, что таких лунок очень мало, 5 типов. | |
- | + | Евклид. 12 книг. Способ изложения были чрезвычайно громздкие. Все док-ва были очень грмздкие и сложные. Ещё Пифагор говорил, чт заниматься числами был удер избранных. | |
- | + | Первая книга сдержла определения, аксиомы и пстулаты. Что ткое опр. во времен евклида? Это предст. о понятия, господвовашие в тот период. Напр., точка --- то, что не имеет частей. Линия --- длин без ширины. Куб --- телесня фигура, закл. между 6 равными квадратами. | |
- | Сейчас | + | В никаких других псл. книгах аксиом и постулатов нет. |
+ | |||
+ | Сейчас гворят, что кс. и постулаты есть дно и то же. У евклида это не совсем так. У евклида аксиомы --- предл. о равенстве и неравенстве. | ||
Аксиомы: | Аксиомы: | ||
- | 4. | + | 4. Совмещ. равно между собой |
5. Часть меньше целого | 5. Часть меньше целого | ||
Постулаты: | Постулаты: | ||
# | # | ||
- | # Отрезк прямой | + | # Отрезк прямой мжн продолж. неогр |
- | # Из всякой точки можно | + | # Из всякой точки можно првести кр |
# Все прямые углы равны | # Все прямые углы равны | ||
- | # Если две прямые, проведённые в одной плоскости, | + | # Если две прямые, проведённые в одной плоскости, пересеь третьей прямй, и сумма внутр. углов меньше двух прямых углов, то эти прямые пересек. там, где имеет место. |
- | По существу, | + | По существу, эт аксиоматика тк и созранилась. Мнго было попыток её изменить. Серьёзное усоверш. связно разве что с именем ... |
- | То, что 5 | + | То, что 5 пстулат есть постулат, а не теорем, надо быть евклидом, чтобы д этого додуматься. Н протяж псл. 2 тысяч лет многим кзлось, что это можно доказать. |
Если ... | Если ... | ||
- | + | Эт первая книга Евклида. В первой книге даются сн. действия над геом. примитивами и док. теорем пифагора. | |
+ | |||
+ | Метод док-ва тков, что из зведомо верного утв. логическим путём полоучается и разб. с пмощью чётких постр. выводится новое утверждение. | ||
+ | |||
+ | Метод док. такй: фрм. док-во или утверждение, делаеится чекртёж, док-во по чертежу, доп. постр необх. и так длее. | ||
- | + | Тот метд, который исп евклид, нз. синтезом. | |
- | + | Вся сист. геом. алгебры излаг во второй книге. Способы пер. с отр., площадми, объёмми. | |
- | + | Третье. Свойств впис. и описанных углов. | |
- | + | Четв. Пост. 3, 4, 5, 6 и 15 угольников правильных. | |
- | + | Гаусс гордился тем, что нарисовал 17-угльник в круге, и это увековечено на его могиле. | |
- | + | У Пифагора на могиле шар, вписанный в циллиндр. | |
- | + | Пятая книг. Общая теория отношений. | |
- | + | Шестая. ... и теорема Флесса | |
- | + | Пдобие фигур. Решение ур. ax + b/c x^2 = s | |
- | + | 7-9 книги. Рациональные числв. Излагается алг. евевклид о нходдении НОД. Осн. теремы делимости. Теорема соверш. числах. | |
- | Подобие фигур. Решение уравнения ax + b/c x^2 = s | ||
- | 7-9 книги. Рациональные числа. Излагается алгоритм Евклида о нахождении НОД. Основные теоремы делимости. Теорема о совершенных числах. | ||
- | 10. | + | 10. Изуч. и классифиц. 25 видов квдр. иррц (sqrt(sqrt(a)+b)). Там же даётся лемма исчерпывания. Там дётся спсоб нхжд пифаг. чисел |
11. Стереометрия. | 11. Стереометрия. | ||
- | 12. | + | 12. Сотн. бъёмов пралл, конусов, призм.... . Постр. правильных мнгогранников. И докзывется, что других нет. |
- | Первое в истории чёткое | + | Первое в истории чёткое постр. мтем. |
- | Особенности: | + | Особенности: искл. геом, чр-ва --- циркуль и линейка. Поэтому нет теор. кончи. сечений, нет алг, трнсцед. кривых. Нет алг. методов. |
- | Дальнейшее | + | Дальнейшее разв. привело к геом. лобачевского и так далее. |
- | + | Архимед. Сын ... . | |
- | В прошлый раз | + | В прошлый раз бсуждал проблему чистой мтематики. В-первых, блегчл труд путём сздания рычагов. На пртяж. двух лет динр по сущ. боронял сиркузы от римского воинства. |
- | + | Чт кас. матем? н видел т, чего не видели многие. Напр. Площадь пр. треуг равновелика чему? | |
- | Что | + | Что смое важне --- он умел выч. площади и бъёмы фигур. Впис. и опис. циллиндры. |
- | Дал | + | Дал чень хорошее предст. для пи --- 3 10/70 и 3 10/71. |
- | Научным | + | Научным сперником рх был Апполоний. Его мат. дост. это конич. сечения. У него было 8 книг о конич. сечения, где он иссл. 387 теорем рзного род вещх, связ. с конич. сечениями. Кажде конич. сечение он рассм. заново, у не было бщей теории. Это харктерно для старй математики вообще. |
- | + | Герон. Мы знем его по формуле Герона, самой потвной формуле выч. площди тр. | |
- | Он занимался | + | Он занимался прикл. мтем. Умел выч.ю квадлраты и куб. корни. Умел решать ква. ур. У мел выч. площади и бъёмы фигур, умел делать чень многие прикл. вещи. У него есть астр. таблицы. Занимался проблемами оптики, сделал метательные мшины. Удивил свих современников: двери в храм при ткрытии солнц открывались |
- | + | Диофант (3 в нэ). Ншёл рац. реш. 189 неопр. урвнений. Неопр --- кгда кол-во неизв. больше кол, ур. У него были спец. обозн для степеней. Давал способ получ. троек пифагоровых чисел. В общем виде диф. ур. ... исследвались в 19 веке. | |
{{История математики}} | {{История математики}} | ||
{{Lection-stub}} | {{Lection-stub}} |