Редактирование: МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 16:15, 26 мая 2010; 212.192.251.45 (Обсуждение)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Вы редактируете устаревшую версию данной страницы. После сохранения страницы будут потеряны изменения, сделанные в последующих версиях.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

''За нерешение данных задач оценка снижается на балл.'' — Д.&nbsp;П.&nbsp;Ветров

==Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования==
Вывести (считаем все матрицы вещественными):

# <math>\frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\bar{c}</math>
# <math>\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}</math>
# <math>\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=2A^TA</math>

===Решение===

====Формула 1====
<math>\bar{c}^T\bar{u}=\sum_{i=1}^nc_iu_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial u_i}=c_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T{u}}{\partial \bar{u}} = \bar{c}</math>

====Формула 2====
Далее через <math>\bar{a}_i</math> всюду обозначен столбец матрицы <math>A</math> с номером <math>i</math>.

<math>\bar{f}^TA\bar{u}=\bar{f}^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n) \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial u_i} = \bar{f}^T\bar{a}_i = (\bar{f},\bar{a}_i) = \bar{a}_i^T\bar{f} \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = A^T\bar{f}</math>

<math>(A\bar{u})^TA\bar{u}=(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nu_iu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial u_i} = 2\sum_{j=1}^nu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u}</math>

<math>\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}} = \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} - 2 \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = 2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}</math>

====Формула 3====
Далее через <math>\bar{b}_i</math> всюду обозначен столбец матрицы <math>B</math> с номером <math>i</math>.

<math>\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=\frac{\partial 2A^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}</math>

<math>B\bar{u}=\bar{b}_1u_1+\dots+\bar{b}_nu_n \Rightarrow \frac{\partial B\bar{u}}{\partial u_i}=b_i \Rightarrow  \frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}=B=2A^TA</math>

==Задача 2. Поиск нормального псевдорешения==
Найти нормальное псевдорешение для системы линейных уравнений.
===Решение===

'''В чём суть''': Мы хотим решить несовместную систему линейных уравнений <math>Ax \approx b</math>. Для этого мы будем минимизировать квадрат нормы невязки, т.е найдём <math>x</math> такой, что при нём квадрат нормы невязки будет наименьшим: <math>{\|Ax-b\|}^2\to min_{x}</math>. Теперь по шагам:

1. Представим норму в матричном виде и раскроем скалярное произведение:

<math>{\|Ax-b\|}^2=\langle Ax-b,Ax-b \rangle = {(Ax-b)}^{T}(Ax-b) = </math>

2. Теперь возьмём производную и приравняем её к нулю:

<math>\frac{\partial}{\partial x}(x^{T}A^{T}Ax-2x^{T}A^{T}b+b^{T}b) = 2{A}^{T}Ax - 2{A}^{T}b = 0</math>

3. Из этого получаем <math>x</math>:

==Задача 3. Метод главных компонент (PCA)==
Даны ''р'' точек в двухмерном пространстве. Найти методом главных компонент первую главную компоненту.

===Решение===

Рассмотрим следующую задачу: <math>p=5</math>, <math>x_1=(1,1)</math>, <math>x_2=(1,2)</math>, <math>x_3=(3,2)</math>, <math>x_4=(4,1)</math>, <math>x_5=(6,4)</math>.

Находим <math>\bar{x}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^px_i=(3,2)</math>.

Находим <math>
S=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p(x_i-\bar{x})^T(x_i-\bar{x})=
\frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 && 7 \\ 7 && 6 \end{pmatrix}
</math>

Решаем <math>|S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}</math>.

Находим собственный вектор, соответствующий <math>\lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}</math>, решая <math>(S-\lambda_1I)\hat{d}=0</math>. Получаем <math>\hat{d}=(0.9085, 0.4179)</math> — собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.

==Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)==
Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.

===Решение===

Плотность распределения Лапласа: <math>p(x|b,\mu)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}</math>, <math>\mu</math> - сдвиг, <math>b</math> - масштаб (подробнее в [http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution википедии]).

====Вариант 1: неизвестный сдвиг, единичный масштаб====

Пусть есть распределение Лапласа с неизвестным матожиданием и единичным параметром масштаба. Дана выборка, взятая из этого распределения: <math>(x_1, x_2, \dots, x_n )</math>. Оценим параметр &mu;.

Функция распределения запишется так: <math>p(x | \mu) = \frac{1}{2} e^{-|x - \mu|}</math>

Функция правдоподобия: <math>L(\mu) = p(\mu | x_1, x_2, \dots, x_n ) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} e^{-|x_i - \mu|}</math>
::<math>\log L(\mu) = \sum_{i = 1}^{n}(-|x_i - \mu|) + const</math>

Покажем, что эта функция достигает максимума в точке <math>\mu =  \mbox{med}(x_1, x_2, \dots, x_n )</math> -- когда параметр равен медиане выборки.

Упорядочим выборку по возрастанию. Пусть теперь она выглядит так: <math>(x_1', x_2', \dots, x_n' )</math>. Рассмотрим последнюю функцию на интервалах вида <math>(-\infty, x_1'),  (x_1', x_2'), \dots, (x_{n-1}', x_n'), (x_n', +\infty),</math>. На первом из них все функции под знаком суммы возрастают, итоговая производная равна ''n'', на втором -- одна убывает, остальные возрастают, производная равна (''n''-2), и т.д. Переломный момент наступает в середине -- в одной точке перегиба (если ''n'' нечётно), или на центральном интервале производная равна 0 (если ''n'' чётно). После этого функция только убывает. Там и достигается максимум правдоподобия. ''Короче, нужно нарисовать график, и всё будет понятно:'' максимум правдоподобия достигается в точке, равной медиане выборки.

====Вариант 2: нулевой сдвиг, неизвестный масштаб====

<math>p(x|b)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x|}{b}}=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}=p(x|\lambda)</math>

<math>p(X|\lambda)=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x_i|}=\left(\frac{\lambda}{2}\right)^n\prod_{i=1}^ne^{-\lambda|x_i|}</math>

<math>\log p(X|\lambda)=n\log(\frac{\lambda}{2}) - \lambda\sum_{i=1}^n|x_i|=n\log\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n|x_i| - n \log 2 \rightarrow \max_{\lambda}</math>

<math>\frac{\partial \log p(X|\lambda)}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n|x_i|=0 \Rightarrow \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|</math>

==Задача 5. Линейная регрессия==
Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида <math>\hat{t}=kx+b</math>, т.е. найти коэффициенты <math>k</math> и <math>b</math>.

===Решение===

<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial k}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-x_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)x_i=0</math>

<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial b}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-1)=0 \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i)=b</math>

<math>k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)</math>

Подставляем значения для <math>x_i</math> и <math>t_i</math>, получаем <math>k</math>, затем <math>b</math>. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.

Еще один вариант - посчитать напрямую <math>(k,b)=(X^TX)^{-1}X^TY</math>, где <math>X</math> - матрица, первый столбец которой составлен из <math>x_i</math>, второй - из единиц, а <math>Y</math> - столбец из <math>t_i</math>.

==Задача 8. Марковская сеть==
Дана марковская сеть с бинарными переменными вида решетка:

---рисунок---

Пусть все унарные энергии совпадают для всех вершин 
<math> \Theta(x_i)=\Theta(x)</math>
и равны 
<math>\Theta(0)=a, \Theta(1)=b</math>. Аналогично все бинарные энергии совпадают между собой 
<math>
\Theta_{ij}(x_i; x_j) =
\Theta(x; y)
</math>
и равны 
<math> 
\Theta(0; 0) = c;
\Theta(0; 1) = d; 
\Theta(1; 0) = e;
\Theta(1; 1) = f. 
</math>
Требуется выполнить репараметризацию в этом графе так, чтобы все энергии 
<math>
\Theta_{ij}(0; 0) = \Theta_{ij}(1; 1) = 0
</math>.
===Решение===

== Задача 6. Правило множителей Лангранжа==
Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.

===Решение===

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0 множители Лагранжа на вики]

Пусть нам необходимо максимизировать функцию <math>f(x,y)=-5x^2+2xy-3y^2</math> при условии <math>x-y+1=0</math>.

Запишем функцию Лагранжа <math>F(x,y,\lambda)=-5x^2+2xy-3y^2+\lambda(x-y+1) \rightarrow \max_{x,y,\lambda}</math>.

Приравняем частные производные к нулю:

<math>
\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=-10x+2y+\lambda=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=2x-6y-\lambda=0 \\
\frac{\partial F}{\partial \lambda}=x-y+1=0
\end{cases}
\Rightarrow
</math>

<math>\Rightarrow x=y-1 \Rightarrow 2(y-1)-6y=-4y-2=\lambda \Rightarrow -10(y-1)+2y-4y-2=8-12y=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{1}{3}</math>.

(По-моему, гораздо проще без функции Лагранжа: <math>y=x+1; f(x)=-6x^2-4x-3; x=-b/2a=-4/12=-1/3</math>)

== Задача 10. ==
=== Решение ===
g - гамма, a - альфа, b - бета.
Очевидно, выборка из наблюдений дискретной случайно величины со следующим распределением:

1 с вероятностью ga

2 с вероятностью g(1-a)+(1-g)(1-b)

3 с вероятностью b(1-g)

Первый шаг. С учетом начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 0.25, 0.5 и 0.25 соответственно.

Распределения скрытой компоненты очевидны:

Если текущий элемент выборки 1, то Z=0 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 3, то Z=1 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 2, то Z=0 и 1 с вероятностями по 0.5

Учитывая данные в задаче числа, показывающие количество единиц, двоек и троек, получаем, что нужно максимизировать следующую функцию:

Для поиска максимума нужно взять производные по a, b, g  приравнять их к нулю. После первой итерации получаем новые значения:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

Второй шаг. С учетом нового начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 3/11, 2/11 и 6/11 соответственно.

Распределения скрытой компоненты рассчитываются аналогично, для X=1 и 3 отличий нет, для X=2 формула новая, но значения вероятностей тоже совпадают с первым шагом:

P(Z=0)=g*(1-a) / (g*(1-a)+(1-g)*(1-b )) = (4/11 * 1/4) / (2/11) = 1/2

Таким образом, функция для оптимизации будет такая же, как на предыдущем шаге. Алгоритм сошелся за два шага.

Ответ:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

== Задача 11. ==
===Решение===
P(a=0) = 0.6 ; P(b=0) = 0.592 ; P(a=0 & b=0) = 0.336

Вероятности получены сложение значений вероятностей всех комбинаций, где выполняется условие. Если бы a и b были независимы, то по определению, третья вероятность была бы произведением первых двух, но это не так, поэтому a и b не независимы.

Все остальные соотношения проверяются аналогично.

== Задача 13. ==
=== Решение ===
all.pdf, страницы 168-169.

Оценка МП <math>%pi</math> - значение первой скрытой переменной, оно нам дано, поэтому вероятность <math>P(t_{11} = 1) = 1, P(t_{12} = 1) = 0</math>.

Оценка МП для матрицы A записана на странице 169. Содержательно эта формула означает следующее. Элемент A[i,j] - вероятность прехода из состояния i в состояние j.  Оценка МП - отношение количества известных нам переходов из i в j к количеству раз, которые наблюдали систему в состоянии i. В данной задаче мы наблюдали состояние 1 100 раз, состояние 2 - 99 раз (последний раз не считается). Переход 1->2 наблюдали 25 раз, переход 1->1 - 75 раз, переход 2->1 - 24 раза, переход 2->2 - 75 раз.

Итого матрица A:

== Задача 14. Алгоритм Витерби ==
Программа на python, решающая задачу (алгоритм взят из [http://en.wikipedia.org/wiki/Viterbi_algorithm])
<pre>
# Helps visualize the steps of Viterbi.
def print_dptable(V):
    print "    ",
    for i in range(len(V)): print "%7s" % ("%d" % i),
    print
 
    for y in V[0].keys():
        print "%.5s: " % y,
        for t in range(len(V)):
            print "%.7s" % ("%f" % V[t][y]),
        print
 
def viterbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
    V = [{}]
    path = {}
 
    # Initialize base cases (t == 0)
    for y in states:
        V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
        path[y] = [y]
 
    # Run Viterbi for t > 0
    for t in range(1,len(obs)):
        V.append({})
        newpath = {}
 
        for y in states:
            (prob, state) = max([(V[t-1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
            V[t][y] = prob
            newpath[y] = path[state] + [y]
 
        # Don't need to remember the old paths
        path = newpath
 
    print_dptable(V)
    (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
    return (prob, path[state])

states = ('first', 'second')
 
observations = ('0', '0', '1', '0', '0', '1', '1')
 
start_probability = {'first': 0.5, 'second': 0.5}
 
transition_probability = {
   'first' : {'first': 0.9, 'second': 0.1},
   'second' : {'first': 0.2, 'second': 0.8},
   }
 
emission_probability = {
   'first' : {'0': 0.8, '1': 0.2},
   'second' : {'0': 0.2, '1': 0.8},
   }

def example():
    return viterbi(observations,
                           states,
                           start_probability,
                           transition_probability,
                           emission_probability)
print example()
</pre>
Вывод программы:
<pre>
           0       1       2       3       4       5       6
secon:  0.10000 0.01600 0.02304 0.00368 0.00074 0.00215 0.00137
first:  0.40000 0.28800 0.05184 0.03732 0.02687 0.00483 0.00087
(0.0013759414272000007, ['first', 'first', 'first', 'first', 'first', 'second', 'second'])
</pre>

То есть наиболее вероятная последовательность состояний: 1-1-1-1-1-2-2

== Задача 15. Алгоритм вперед-назад ==
=== Решение ===
Описание алгоритма с простыми обозначениями можно прочитать здесь: [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%B0%D1%83%D0%BC%D0%B0-%D0%92%D0%B5%D0%BB%D1%88%D0%B0]

Значения "альфы" (первой и второй) на каждом шаге:

1: 0.4 и 0.1

2: 0.304 и 0.024

3: 0.05568 и 0.03968

Значения "беты" на каждом шаге, от третьего к первому:

3: 1 и 1

2: 0.61 и 0.68

1: 0.4664 и 0.1576

Нормировочные константы:

3: 0.09536

2: 0.20176

1: 0.20232

И наконец, маргинальные распределения (гамма нулевое - вероятность того, что система была в состоянии 0):

Для t3: 0 с вероятностью ~0.58

Для t2: 0 с вероятностью ~0.919

Для t1: 0 с вероятностью ~0.922 
{{Курс МОТП}}

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице: